Potenzreihe bestimmen

19.04.2013, 00:19

pusteblume-88

Potenzreihe bestimmen

Hallo,

ich bin ausnahmsweise mittelmäßig überfordert mit der aktuellen Aufgabe.

"Bestimme die Potenzreihe von $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x} \end{eqnarray*}$ ."

es ist kein Entwicklungspunkt gegeben, was mich zudem noch verwirrt, ein schönes Beispiel hatten wir in der Vorlesung auch nicht, in einem Buch habe ich ein Beispiel zum natürlich Logarithmus gefunden, allerdings wird da erst differenziert und dann gliedweise Integriert, und Integration wurde in der Vorlesung noch nicht eingeführt, weshalb ich das eigentlich ungern nutzen würde.

Was wir wohl hatten, war das Cauchy-Produkt, was ich aber 1. nicht hundert pro verstanden habe und 2. keine ahnung habe, wie mir das hier helfen könnte....aber das habe ich in ein paar weiteren Beispielen im Buch gelesen.

Spontan fällt mir noch ein, dass wir die Allgemeine Potenz hatten mit $\begin{eqnarray*} a^b = e^{b\cdot \ln a} \end{eqnarray*}$ , was ja in gewisser Hinsicht mit Wurzeln zu tun hat...habe da aber wegen Ahnungslosigkeit eines Ansatzes der gesamten Aufgabe nicht weiter drüber nachgedacht.

ich freue mich über Tipps Augenzwinkern

19.04.2013, 00:50

frank09

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RE: Potenzreihe bestimmen
Warum entwickelst du nicht einfach um $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ ?

19.04.2013, 00:59

Dopap

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für |x|<1 steht im Prinzip die Binomialreihe mit dem Exponenten $\begin{eqnarray*} \alpha=\frac 12 \end{eqnarray*}$ da.

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty}\binom {\alpha}{k} x^k \end{eqnarray*}$

aber das wäre wohl zu einfach ?

19.04.2013, 01:20

pusteblume-88

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mhm, das könnte aber ausreichen, es wurde betont, dass die Basis durchaus in R sein kann,

dann muss ich nur noch ein bisschen grübeln, wie ich Varianten davon hinbekomme, also 3. Wurzeln und sowas...aber das mach ich morgen, gute nacht =)

19.04.2013, 10:49

pusteblume-88

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oh, es war wohl doch schon zu spät gestern Hammer

ich meinte natürlich nicht 3. Wurzeln, das ist ja easy, aber wenn z.B. eine 3. Potenz unter der Wurzel steht, also sowas wie $\begin{eqnarray*} sqrt{(1+x^3)} \end{eqnarray*}$

naja, ich überlege noch ein wenig und komme ggf drauf zurück....

edit: wie kann man denn Fakultäten von nicht natürlichen Zahlen rechnen? Bei der Summe von Dopap müsste ich das ja machen, wenn ich da was konkretes berechnen will.....

19.04.2013, 11:16

Dopap

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Zitat:

Original von Dopap

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty}\binom {\alpha}{k} x^k \end{eqnarray*}$

Das ist eine Potenzreihe mit Exponenten aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ . In deinem Fall ist $\begin{eqnarray*} \alpha =\frac 12 \end{eqnarray*}$

Die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_k=\binom {\alpha}{k}=\frac {\alpha\cdot (\alpha -1)\cdot ( \alpha-2) \cdots (\alpha-k+1)}{k!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{\tfrac 12}\approx 1 +\frac 12 x -\frac 18 x^2+\frac {1}{16}x^3 - \cdots \end{eqnarray*}$

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