Satz von Gauß: Integration eines Zylinders

19.04.2013, 01:00

Pauline21

Satz von Gauß: Integration eines Zylinders

Meine Frage:
Seid gegrüßt. Meine Aufgabe ist ziemlich abstrakt (meiner Meinung nach)
Sie lautet: Betrachten Sie einen unendlich langen, runden Draht mit dem Radius $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ . Der Draht sei homogen geladen mit einer Ladung $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ pro Längeneinheit $\begin{eqnarray*} dl \end{eqnarray*}$ . Berechnen Sie die elektrische Feldstärke $\begin{eqnarray*} E(r) \end{eqnarray*}$ und das Potential $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ außerhalb des Drahts $\begin{eqnarray*} (r>R) \end{eqnarray*}$ unter Verwendung von Symmetrieüberlegungen und des Satzes von Gauß.

Meine Ideen:
Der Satz von Gauß:
Es sei $\begin{eqnarray*} V \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ eine kompakte Menge mit abschnittsweise glattem Rand $\begin{eqnarray*} S = \partial V \end{eqnarray*}$ , der Rand sei orientiert durch ein äußeres Normaleneinheitsfeld $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ . Ferner sei das Vektorfeld $\begin{eqnarray*} \vec F \end{eqnarray*}$ stetig differenzierbar auf einer offenen Menge $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} V \subseteq U \end{eqnarray*}$ . Dann gilt

$\begin{eqnarray*} \int_V \operatorname{div} \vec F \; \mathrm d^{(n)}V = \oint_{S} \vec F \cdot \vec n\; \mathrm d^{(n-1)}S\ \end{eqnarray*}$

Zu integrieren ist ein Zylinder. Könnte mich jemand in die richtige Spur weisen, ich wäre wirklich unendlich dankbar.

Titel "Feld eines geladenen Drahtes" in etwas "Mathematischeres" geändert - vielleicht gibt's dann mehr Antworten. Steffen

19.04.2013, 09:16

Huggy

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RE: Satz von Gauß: Integration eines Zylinders
Wie sieht denn $\begin{eqnarray*} \vec E(\vec r) =(E_r, E_{\varphi}, E_z) \end{eqnarray*}$ aufgrund von Symmetrieüberlegungen in Zylinderkoordinaten aus? Danach kannst du das Oberflächenintegral weitgehend ausrechnen.

Ohne ein wenig Physik geht es nicht. Du musst schon wissen, was $\begin{eqnarray*} \nabla \cdot \vec E \end{eqnarray*}$ physikalisch ist, um das Volumenintegral zu bestimmen.

19.04.2013, 09:49

Pauline21

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RE: Satz von Gauß: Integration eines Zylinders

Zitat:

Original von Huggy
Wie sieht denn $\begin{eqnarray*} \vec E(\vec r) =(E_r, E_{\varphi}, E_z) \end{eqnarray*}$ aufgrund von Symmetrieüberlegungen in Zylinderkoordinaten aus? Danach kannst du das Oberflächenintegral weitgehend ausrechnen.

Wir legen $\begin{eqnarray*} E_z \end{eqnarray*}$ in unsere Koordinatenmitte. Damit wir links und rechts von der z-Achse die Symmetrie ausnutzen können

Zitat:

Original von Huggy
Ohne ein wenig Physik geht es nicht. Du musst schon wissen, was $\begin{eqnarray*} \nabla \cdot \vec E \end{eqnarray*}$ physikalisch ist, um das Volumenintegral zu bestimmen.

Unser elektrisches Feld ist ja definiert als $\begin{eqnarray*} \vec{E}=\frac{{\vec{F}}}{q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ steht für kleine Probeladungen (die sich am gegebenen Punkt befindet) und $\begin{eqnarray*} \vec{F} \end{eqnarray*}$ ist die auf diese Probeladung wirkende Kraft.

Die elektrische Feldstärke kann man meistens über das zugehörige Potential berechnen. D.h. die elektrische Feldstärke ist gleich dem negativen Gradienten des (skalaren) elektrischen Potentials $\begin{eqnarray*} \Phi: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{E}(\vec{r}) = -\nabla\Phi(\vec{r}) \end{eqnarray*}$

19.04.2013, 10:09

Huggy

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RE: Satz von Gauß: Integration eines Zylinders

Zitat:

Original von Pauline21
Wir legen $\begin{eqnarray*} E_z \end{eqnarray*}$ in unsere Koordinatenmitte. Damit wir links und rechts von der z-Achse die Symmetrie ausnutzen können

??? Ein ziemlich unverständlicher Satz. Du meinst wohl, wir legen die z-Achse des Koordinatensystems auf den Draht. Was kann man dann aufgrund der Symmetrie über $\begin{eqnarray*} E_{\varphi} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E_z \end{eqnarray*}$ sagen?

Zitat:

Unser elektrisches Feld ist ja definiert als $\begin{eqnarray*} \vec{E}=\frac{{\vec{F}}}{q} \end{eqnarray*}$

Ich meinte die Beziehung

$\begin{eqnarray*} \nabla \cdot \vec E = \frac {\rho}{\epsilon_0} \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ die Ladungsdichte.

19.04.2013, 10:22

Pauline21

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RE: Satz von Gauß: Integration eines Zylinders

Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Original von Pauline21
Wir legen $\begin{eqnarray*} E_z \end{eqnarray*}$ in unsere Koordinatenmitte. Damit wir links und rechts von der z-Achse die Symmetrie ausnutzen können

Ja das meinte ich. Was man damit sagen will? Mhm, dass die Verteilung homogen ist? Weiß nicht verwirrt

(Ich mache so eine Aufgabe zum ersten mal)

Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Unser elektrisches Feld ist ja definiert als $\begin{eqnarray*} \vec{E}=\frac{{\vec{F}}}{q} \end{eqnarray*}$

Ich meinte die Beziehung

$\begin{eqnarray*} \nabla \cdot \vec E = \frac {\rho}{\epsilon_0} \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ die Ladungsdichte.

Das elektrische Potential hängt nur von der Ladungsdichte ab.

$\begin{eqnarray*} \Delta \Phi(\vec r) = -\frac{\rho(\vec r)}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$

19.04.2013, 10:37

Huggy

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RE: Satz von Gauß: Integration eines Zylinders

Zitat:

Original von Pauline21
Was man damit sagen will? Mhm, dass die Verteilung homogen ist? Weiß nicht verwirrt

(Ich mache so eine Aufgabe zum ersten mal)

Die elektrische Feldstärke ist doch proportioanal zur Kraft auf eine Probeladung. Hat die Kraft auf eine Probeladung Komponenten in $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ - und in z-Richtung?

Zitat:

Das elektrische Potential hängt nur von der Ladungsdichte ab.

$\begin{eqnarray*} \Delta \Phi(\vec r) = -\frac{\rho(\vec r)}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe soll doch gelöst werden, in dem man erst die Feldstärke bestimmt und dann das Potential. Was folgt denn aus

$\begin{eqnarray*} \nabla \cdot \vec E = \frac {\rho}{\epsilon} \end{eqnarray*}$

für

$\begin{eqnarray*} \int_V \nabla \cdot \vec E dV \end{eqnarray*}$

19.04.2013, 10:57

Pauline21

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RE: Satz von Gauß: Integration eines Zylinders

Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Original von Pauline21
Was man damit sagen will? Mhm, dass die Verteilung homogen ist? Weiß nicht verwirrt

(Ich mache so eine Aufgabe zum ersten mal)

Die elektrische Feldstärke ist doch proportioanal zur Kraft auf eine Probeladung. Hat die Kraft auf eine Probeladung Komponenten in $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ - und in z-Richtung?

Ich weiß nicht, kann mir das nicht räumlich vorstellen, was genau was ist. Also eine Probeladung muss ja im Raum/Zylinder sein. Demnach müsste die Kraft keine Komponenten in $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ Richtung haben, da sich ja "dort" die Probeladung befinden? Die Kraft steht doch senkrecht darauf?

Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Original von Pauline21
[quote]Das elektrische Potential hängt nur von der Ladungsdichte ab.

$\begin{eqnarray*} \Delta \Phi(\vec r) = -\frac{\rho(\vec r)}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$

Dann kann man das einsetzen zu $\begin{eqnarray*} \int_V \frac {\rho}{\epsilon} dV \end{eqnarray*}$ ?

19.04.2013, 11:27

Huggy

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RE: Satz von Gauß: Integration eines Zylinders

Zitat:

Original von Pauline21
Ich weiß nicht, kann mir das nicht räumlich vorstellen, was genau was ist.

Das solltest du aber! Mal dir ein paar Bildchen und dort die Vektoren ein. Ohne eine Vorstellung, welcher Vektor in welchem Koordinatensystem wohin zeigt, tut man sich schwer.

Zitat:

Also eine Probeladung muss ja im Raum/Zylinder sein. Demnach müsste die Kraft keine Komponenten in $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ Richtung haben, da sich ja "dort" die Probeladung befinden? Die Kraft steht doch senkrecht darauf?

Das klingt ziemlich abstrus. Richtig ist aber, auf eine Probeladung wirken aufgrund der Symmetrie keine Kräfte in $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ -Richtung (das wäre tangential zu einem Kreis um die z-Achse) und in z-Richtung, also $\begin{eqnarray*} E_{\varphi}=E_z=0 \end{eqnarray*}$ . Ebenso folgt, dass $\begin{eqnarray*} E_r(r, \varphi,z) \end{eqnarray*}$ nicht von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ und z abhängt, sondern nur von r. Auf der Mantelfläche eines Zylinders um die z-Achse ist $\begin{eqnarray*} E_r \end{eqnarray*}$ also konstant. Jetzt solltest du aber in der Lage sein, das Oberflächenintegral über einen Zylinder mit der willkürlichen Länge L zu zu berechnen.

Zitat:

Dann kann man das einsetzen zu $\begin{eqnarray*} \int_V \frac {\rho}{\epsilon} dV \end{eqnarray*}$ ?

Ja. Und es ist

$\begin{eqnarray*} \int_V \frac {\rho}{\epsilon} dV=\frac{Q}{\epsilon} \end{eqnarray*}$

Dabei ist Q die im Volumen V eingeschlossene Ladungsmenge. Die kannst du für ein Drahtstück der Länge L berechnen.

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