Dirichlet-Reihen

19.04.2013, 11:07	nicholas	Auf diesen Beitrag antworten »
Dirichlet-Reihen Meine Frage: Berechnen Sie die Dirichlet-Reihen (Eulerprodukte) von den arithmetischen Funktionen $\begin{eqnarray} f(n)=2^{\nu(n)} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(n):=\lambda(n) f(n) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ die Liouville-Funktion ist und $\begin{eqnarray} \nu(n) \end{eqnarray}$ die Anzahl verschiedener Primfaktoren von n. Meine Ideen: Hallo! Irgendwie komm ich da auf Produkte, die ich nicht weiter vereinfachen kann und die auch irgendwie nicht konvergent aussehen... Im ersten Fall lautet das Eulerprodukt: $\begin{eqnarray} <br /> \prod_{p} \Big( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}{p^{k s} }\Big) = \prod_{p} 2 \frac{p^{s}}{p^{s}-1} \end{eqnarray}$ Warum sollte das konvergieren? Die 2 stört da ziemlich... Im zweiten Fall ähnlich: $\begin{eqnarray} <br /> \prod_{p} 2 \frac{1}{p^{-s}+1} \end{eqnarray}$

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