Verschoben! Determinanten Formel für Krümmung

19.04.2013, 14:23

steviehawk

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Determinanten Formel für Krümmung

Meine Frage:
Hallo Leute, ich möchte gerne die Determinantenformel für die Krümmung einer ebenen Kurve beweisen.

Ich habe im Grunde einen Beweis vorliegen, verstehe aber schon den ersten Schritt nicht..

Also aus der Vorlesung ist bekannt: $\begin{eqnarray*} k(t) = \langle c''(t),n(t)\rangle \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} c''(t) = k(t) \cdot n(t) \end{eqnarray*}$

Die Formel die ich nachher haben möchte sieht ja so aus: $\begin{eqnarray*} \frac{det(c'(t),c''(t))}{||c'(t)||^3} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
In dem Beweis der vorliegt, steht man solle einfach nachrechnen!! So einfach finde ich das garnicht smile

smile

Sie fangen dort direkt an mit: $\begin{eqnarray*} k(t) = \frac{\langle n_1'(t),n_2(t) \rangle}{||c'(t)||} \end{eqnarray*}$

wie kommt man bitte den auf diese Aussage?? Sind $\begin{eqnarray*} n_1' , n_2 \end{eqnarray*}$ die Komponenten des jeweiligen Vektors? Warum stehen die dann in einem Skalarprodukt?

Danke für die Hilfe!!

Edit(Helferlein): Da man in der Schulmathematik seltens eine Vorlesung bekommt und dies Thema garantiert aus einer Hochschulvorlesung kommt, habe ich es in einen passenderen Bereich verschoben. Bitte in Zukunft vor dem Posten darauf achten, danke.

"Hier können auch geometrische Fragestellungen aus der Hochschulmathematik diskutiert werden" Also ich das gelesen habe, dachte ich das wäre wohl das richtige, immerhin ist es eine Geometrie Vorlesung

20.04.2013, 13:42

steviehawk

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RE: Determinanten Formel für Krümmung
Hat vielleicht jetzt noch einer eine Idee, nachdem es jetzt im richtigen Berreich liegt smile

smile

20.04.2013, 14:20

Che Netzer

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RE: Determinanten Formel für Krümmung
Wenn man nach der Beschreibung des Geometrie-Unterforums geht, wäre das tatsächlich der richtige Ort für die Frage.
In die Analysis würde ich die Frage aber nicht ansiedeln, dann eher in Sonstiges mit einer "[Differentialgeometrie]"-Markierung im Titel.

Dass es für $\begin{eqnarray*} n_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_2 \end{eqnarray*}$ eine allgemeine Konvention gäbe, wäre mir jedenfalls nicht bekannt.
Bevor ich jetzt irgendwelche Vermutungen anstellen, schlag doch mal nach, ob diese Bezeichnungen vorher schon irgendwo verwendet wurden.
Wenn du da nichts findest, schreib etwas mehr Kontext ab, d.h. die ersten paar Zeilen des Beweises.

20.04.2013, 14:28

steviehawk

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RE: Determinanten Formel für Krümmung
Hallo Che Netzer,

der Beweis steht hier:

http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/Gesamt_ED.pdf

Auf Seite 25

Danke!!

20.04.2013, 15:08

Che Netzer

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RE: Determinanten Formel für Krümmung
Damit kann ich auch nichts anfangen. Aber dafür kann ich jetzt sagen, dass das Zeug offensichtlich nicht korrekturgelesen wurde.
Sieh dich besser nach einem anderen Skript um...

20.04.2013, 19:38

steviehawk

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RE: Determinanten Formel für Krümmung
mhh das ist aber schlecht..

Hat sonst jemand einen Ansatz, wie man die Aufgabe lösen könnte??

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20.04.2013, 19:53

Che Netzer

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RE: Determinanten Formel für Krümmung
Für den Beweis der Aussage findest du etliche Quellen im Internet.
Dummerweise ist das von dir verlinkte Skript tatsächlich die erste pdf-Datei, die ich bei Google für "Krümmung ebene Kurve" finde. Aber es gibt da noch viele weitere.

21.04.2013, 11:45

steviehawk

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RE: Determinanten Formel für Krümmung
Also ich versuche mich jetzt noch mal selber daran smile

smile

Aus unserem Skript weiß ich, dass: $\begin{eqnarray*} c''(t) = k(t)n(t) \end{eqnarray*}$ gilt, wo bei es sich um eine parametriesierte Kurve: $\begin{eqnarray*} c(t) = (c_1(t),c_2(t)) \end{eqnarray*}$ handelt und $\begin{eqnarray*} k(t) \end{eqnarray*}$ die Krümmung ist und $\begin{eqnarray*} n(t) \end{eqnarray*}$ der um 90 Grad gedrehte Tangentenvektor $\begin{eqnarray*} c'(t) \end{eqnarray*}$ ist.

Es gilt weiterhin laut Skript: $\begin{eqnarray*} k(t) = \langle c''(t), n(t) \rangle \end{eqnarray*}$

damit lässt sich ja schon mal arbeiten. Ich hab dann:

$\begin{eqnarray*} k(t) = \langle c''(t), Jc'(t) \rangle \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} J = \begin{pmatrix} 0 & -1 & \\ 1 &0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann folgt:

$\begin{eqnarray*} k(t) = \langle c''(t), Jc'(t) \rangle = (c_1''(t) c_2''(t)) \begin{pmatrix} -c_2'(t) \\ c_1'(t)\end{pmatrix} = -c_1''(t)c_2'(t) + c_2''(t)c_1'(t) = det(c'(t),c''(t)) \end{eqnarray*}$

So, das sieht ja schon mal garnicht so schlecht aus.. Bleibt die Frage, wie ich da den Betrag noch reinbekomme..

21.04.2013, 12:05

Che Netzer

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RE: Determinanten Formel für Krümmung

Zitat:

Original von steviehawk
Aus unserem Skript weiß ich, dass: $\begin{eqnarray*} c''(t) = k(t)n(t) \end{eqnarray*}$ gilt

Das gilt nur, wenn die Kurve nach Bogenlänge parametrisiert ist.
Benutzt du immer noch dieses fehlerhafte Skript?
Vielleicht kannst du hiermit mehr anfangen:
http://page.math.tu-berlin.de/~bobenko/Lehre/Skripte/KuF.pdf
Auf Seite 13/14 ist da der Beweis.

21.04.2013, 12:17

steviehawk

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RE: Determinanten Formel für Krümmung
Ich kann ja, statt:

$\begin{eqnarray*} c'(t) \end{eqnarray*}$ einfach: $\begin{eqnarray*} \frac{c'(t)}{||c'(t)||} \end{eqnarray*}$ verwenden, dann ist er ja auch normiert..

Mit Skript meinte ich den Aufschrieb aus der Vorlesung!

Ich hätte dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{det(c'(t),c''(t))}{||c'(t)||} \end{eqnarray*}$

fehlt noch das hoch 3..

das Skript habe ich mir auch schon angesehen verwirrt

verwirrt

21.04.2013, 12:22

Che Netzer

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RE: Determinanten Formel für Krümmung

Zitat:

Original von steviehawk
$\begin{eqnarray*} c'(t) \end{eqnarray*}$ einfach: $\begin{eqnarray*} \frac{c'(t)}{||c'(t)||} \end{eqnarray*}$ verwenden, dann ist er ja auch normiert..

Schon, aber dann ist
$\begin{eqnarray*} c''(t)\neq\left(\frac{c'(t)}{\lVert c'(t)\rVert}\right)'\,. \end{eqnarray*}$

Und das Skript, das ich verlinkt hatte, hat nicht geholfen?

21.04.2013, 12:32

steviehawk

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RE: Determinanten Formel für Krümmung
Ich arbeite mich gerade durch das Skript.. die machen das ja aber mit einer Umparametriesierung, das hatte ich nicht vor.. aber vielleicht geht es auch nicht anders..

Und wenn ich jetzt für $\begin{eqnarray*} c''(t) \end{eqnarray*}$ wirklich mal das ausrechne, dann könnte es doch passen oder? Ist vielleicht bisschen eklig mit der Norm abzuleiten.

$\begin{eqnarray*} c''(t) = \left(\frac{c'(t)}{\lVert c'(t)\rVert}\right)'\,. \end{eqnarray*}$

21.04.2013, 12:45

Che Netzer

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RE: Determinanten Formel für Krümmung

Zitat:

Original von steviehawk
Ich arbeite mich gerade durch das Skript.. die machen das ja aber mit einer Umparametriesierung, das hatte ich nicht vor.. aber vielleicht geht es auch nicht anders..

Naja, irgendwie muss man die Parametrisierung ja auf die Parametrisierung nach Bogenlänge zurückführen, denn nur für die wurde die Krümmung ursprünglich definiert.

Zitat:

Und wenn ich jetzt für $\begin{eqnarray*} c''(t) \end{eqnarray*}$ wirklich mal das ausrechne, dann könnte es doch passen oder? Ist vielleicht bisschen eklig mit der Norm abzuleiten.

$\begin{eqnarray*} c''(t) = \left(\frac{c'(t)}{\lVert c'(t)\rVert}\right)'\,. \end{eqnarray*}$

verwirrt

Vergiss das lieber...

21.04.2013, 12:55

steviehawk

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RE: Determinanten Formel für Krümmung
Okay.. Also ich stehe kurz vor dem Durchbruch glaub ich zumindest smile

smile

Ich hab hier was gefunden, was der Schreibweise in unserer Vorlesung entspricht.. Ich versteh nur einen letzten Schritt nicht:

"krümmung ebene kurve karsten" googlen - dann gleich der erste Link Seite 10 Satz 3

Ich versteh das soweit bis zum dem Satz:

"Aber der Betrag von (7) liefert $\begin{eqnarray*} 1 = |\tilde c| \phi' \end{eqnarray*}$ , so dass wir insgesamt den Ausdruck von (6) erhalten"

1) Warum gilt: $\begin{eqnarray*} 1 = |\tilde c| \phi' \end{eqnarray*}$

2) Warum erhalte ich dann: (6) ??

Vielen Dank für die Mühe!!!

21.04.2013, 13:03

Che Netzer

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RE: Determinanten Formel für Krümmung
Das scheint ein Tippfehler zu sein, es müsste $\begin{eqnarray*} 1=\lvert c'\circ\phi\rvert\phi' \end{eqnarray*}$ sein.
Das erhält man einfach durch Bilden des Betrages der ersten Gleichung in (7) und mit der impliziten Forderung $\begin{eqnarray*} \phi'>0 \end{eqnarray*}$ (um die Orientierung zu erhalten).
Und (6) erhält man dann, indem man $\begin{eqnarray*} \phi'=\frac1{\lvert c'\circ\phi\rvert} \end{eqnarray*}$ in die im Beweis aufgestellte Gleichung einsetzt.

21.04.2013, 13:29

steviehawk

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RE: Determinanten Formel für Krümmung
Toll dass ich immer die Stellen des Skripts brauche wo Tippfehler sind traurig

traurig

Mit deinen Korrekturen erhalte ich dann:

$\begin{eqnarray*} k(t) = \langle c'' \circ \phi ; J c' \circ \phi \rangle \phi'^3 \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} \phi' = \frac{1}{||c' \circ \phi||} \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} k(t) = \langle c'' \circ \phi ; J c' \circ \phi \rangle \frac{1}{||c' \circ \phi||^3} \end{eqnarray*}$

Jetzt muss das $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ja noch rausfallen. Aber kann ich das aus dem Skalarprodukt raus ziehen und dann mit dem in der Norm irgendwie kürzen?? Steh da echt auf dem Schlauch..

Edit:

Ich schreibe das mal so:

$\begin{eqnarray*} k(t) = \langle c'' ( \phi(t)) ; J c' (\phi(t)) \rangle \frac{1}{||c' ( \phi(t))||^3} \end{eqnarray*}$

und setze $\begin{eqnarray*} \phi(t) := s \end{eqnarray*}$ dann steht da:

$\begin{eqnarray*} k(t) = \langle c'' ( s) ; J c' (s) \rangle \frac{1}{||c' ( s)||^3} \end{eqnarray*}$ das wollte ich ja.. aber jetzt habe ich halt s verwirrt

verwirrt

21.04.2013, 13:35

Che Netzer

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RE: Determinanten Formel für Krümmung
Das $\begin{eqnarray*} (t) \end{eqnarray*}$ ist hier etwas irreführend.
Es ist eher die Krümmung an einer bestimmten Stelle, also entweder an $\begin{eqnarray*} \tilde c(t) \end{eqnarray*}$ oder halt an $\begin{eqnarray*} (c\circ\phi)(t)=c(\phi(t)) \end{eqnarray*}$ .

Oder anders gesagt: $\begin{eqnarray*} \kappa(t) \end{eqnarray*}$ bezeichnet die Krümmung von $\begin{eqnarray*} \tilde c \end{eqnarray*}$ (!) zur Zeit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ .
Das entspricht genau der Krümmung von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ zur Zeit $\begin{eqnarray*} \phi(t) \end{eqnarray*}$ .

21.04.2013, 13:36

steviehawk

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RE: Determinanten Formel für Krümmung
Alles klar!!! Vielen Dank mal wieder!!! Super Hilfe Prost

Prost

21.04.2013, 14:08

steviehawk

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RE: Determinanten Formel für Krümmung
Noch eine Frage!

Wenn die Krümmung der Kurve $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} \phi(t) \end{eqnarray*}$ gleich der Krümmung der Kurve $\begin{eqnarray*} \tilde c \end{eqnarray*}$ zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist, warum kann ich dann im nächsten Schritt einfach wieder t schreiben?? Ich müsste doch dann das $\begin{eqnarray*} \phi(t) \end{eqnarray*}$ immer stehen lassen..

Substituiere ich das einfach??

Ich hab ja durch meine Rechnung die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} k(t) = det ( c' ( \phi(t)) ; c'' (\phi(t)) ) \frac{1}{||c' ( \phi(t))||^3} \end{eqnarray*}$

mir ist noch unklar, wie das $\begin{eqnarray*} \phi(t) \end{eqnarray*}$ einfach verschwindet..??

21.04.2013, 14:17

Che Netzer

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RE: Determinanten Formel für Krümmung
Wenn du die Krümmung von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ zur Zeit $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ ausrechnen möchtest, nimmst du dir ein $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \phi(t)=t_0 \end{eqnarray*}$ .

Deine Gleichung lautet ja
$\begin{eqnarray*} \kappa_{\tilde c}(t)=\kappa_c(\phi(t))=\frac{\det\Bigl(c'(\phi(t)),c''(\phi(t))\Bigr)}{\lVert c'(\phi(t))\rVert^3} \end{eqnarray*}$
und da $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ bijektiv ist, kannst du z.B. $\begin{eqnarray*} t=\phi(\tilde t) \end{eqnarray*}$ setzen und erhältst
$\begin{eqnarray*} \kappa_c(t)=\frac{\det(c'(t),c''(t))}{\lVert c'(t)\rVert^3}\,. \end{eqnarray*}$

21.04.2013, 14:32

steviehawk

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RE: Determinanten Formel für Krümmung
was ist $\begin{eqnarray*} \tilde t \end{eqnarray*}$

muss ich nicht: $\begin{eqnarray*} \phi^{-1}(t_0) = t \end{eqnarray*}$ wählen? Dann erhalte ich doch:

$\begin{eqnarray*} k_{\tilde c}(t) = k_{\tilde c}(\phi^{-1}(t_0)) = k_c(\phi(\phi^{-1}(t_0))) = \frac{\det\Bigl(c'(t_0)),c''(t_0)\Bigr)}{\lVert c'(t_0)\rVert^3} = k_{t_0} \end{eqnarray*}$

21.04.2013, 14:48

Che Netzer

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RE: Determinanten Formel für Krümmung

Zitat:

Original von steviehawk
was ist $\begin{eqnarray*} \tilde t \end{eqnarray*}$

Irgendetwas. Bzw. das $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , das in der Formel zuvor verwendet wurde.

Zitat:

muss ich nicht: $\begin{eqnarray*} \phi^{-1}(t_0) = t \end{eqnarray*}$ wählen?

Das entspricht genau $\begin{eqnarray*} t_0=\phi(t) \end{eqnarray*}$ ...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} k_{\tilde c}(t) = k_{\tilde c}(\phi^{-1}(t_0)) = k_c(\phi(\phi^{-1}(t_0))) = \frac{\det\Bigl(c'(t_0)),c''(t_0)\Bigr)}{\lVert c'(t_0)\rVert^3} = k_{t_0} \end{eqnarray*}$

Ja, das meinte ich.

11.10.2014, 15:57

alsob

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RE: Determinanten Formel für Krümmung
ich versuche grade den beweis nachzuvollziehen, das meiste ist mir klar aber ich verstehe nicht wie man auf die folgende zeile im eingangspost kommt

"Also aus der Vorlesung ist bekannt: $\begin{eqnarray*} k(t) = \langle c''(t),n(t)\rangle \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} c''(t) = k(t) \cdot n(t) \end{eqnarray*}$ "

die rechte gleichung ist mir als definition der krümmung bekannt aber ich verstehe nicht wieso sie äquivalent zur linken gleichung ist.
wenn ich die beiden gleichungen ausrechne mit $\begin{eqnarray*} Jc'(t) = n(t) \end{eqnarray*}$ , dann komme ich links auf das gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} c_1''(t) = k(t) * (-c_2'(t)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_2''(t) = k(t) * c_1'(t) \end{eqnarray*}$ und rechts auf die gleichung

$\begin{eqnarray*} k(t) = -c_2'(t) * c_1''(t) + c_1'(t) * c_1'(t) * c_2''(t) \end{eqnarray*}$

kann mir jemand erklären wo ich nen denkfehler mache und wieso die beiden äquivalent sind?

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