Mengenaussagen beweisen

19.04.2013, 14:42

shark32

Mengenaussagen beweisen

Meine Frage:
Hallo liebe Mathefreunde,

ich habe vor kurzem begonnen, mich mit der Analysis zu befassen und benutze dazu das "Lehrbuch der Analysis" (H.Heuser) als Grundlage.

Dabei habe ich schwierigkeiten mit s.26 Nr.6, in der es darum geht Aussagen über Mengen zu beweisen.

die erste aufgabe lautet folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} M\bigcup M = M \end{eqnarray*}$ ;

Ist für jeden selbstverständlich, und doch fällt es mir schwer das Mathematisch korrekt zu beweisen. :/

Meine Ideen:
Mein Ansatz ist folgender:

Ich möchte zeigen, dass jedes Element x in beiden Mengen vorhanden ist und somit auch in der vereinigten Menge vorhanden sein muss.

{ $\begin{eqnarray*} x|\forall x\in M \end{eqnarray*}$ }

Wie kann ich nun kenntlich machen, dass dies für beide Mengen M und somit auch die vereinte Menge gilt?

Vielen Dank,

shark32

19.04.2013, 15:03

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde anders an die Aufgabe rangehen. Ich würde zeigen, dass $\begin{eqnarray*} M\cup M \subseteq M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M\subseteq M\cup M \end{eqnarray*}$ ist. Daraus folgt dann, dass $\begin{eqnarray*} M\cup M=M \end{eqnarray*}$ ist.

$\begin{eqnarray*} M\subseteq M\cup M \end{eqnarray*}$ ist eigentlich trivial.

Um $\begin{eqnarray*} M\cup M \subseteq M \end{eqnarray*}$ zu zeigen, nimmst du an, dass es ein $\begin{eqnarray*} x\in M\cup M \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} x \not\in M. \end{eqnarray*}$ Da kommst du dann auf einen Widerspruch.

19.04.2013, 16:10

shark32

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke Nick, für die schnelle Antwort!

Die Logik hinter deinem Beweis erschliesst sich mir vollkommen, allerdings kann ich leider nichteinmal den Widerspruch herbeiführen, weil ich die Notation einfach nicht auf die Kette bekomme. (trotz Wikipedia -.-)

Ich würde das jetzt folgendermaßen angehen:

{ $\begin{eqnarray*} x|x\in M\bigcup M \wedge x\not\in M \end{eqnarray*}$ } [Das bedeutet X ist Element von M vereinigt mit M und nicht Element von M, richtig?]

da $\begin{eqnarray*} M\subseteq M\cup M \end{eqnarray*}$ trivial ist ergibt sich aus dem oberen:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} x|x\in M\subseteq M\cup M \wedge x\not\in M \end{eqnarray*}$ }

und daraus:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} x|x\in M \wedge x\not\in M \end{eqnarray*}$ } Was ein offensichtlicher widerspruch ist.

Allerdings traue ich dem braten noch nicht so ganz. Vor allem Vereinigungs und Untersummenzeichen habe ich ausser bei mir, noch nirgendwo in geschweiften Klammern gesehen. verwirrt

19.04.2013, 16:28

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von shark32
{ $\begin{eqnarray*} x|x\in M\bigcup M \wedge x\not\in M \end{eqnarray*}$ } [Das bedeutet X ist Element von M vereinigt mit M und nicht Element von M, richtig?]

da $\begin{eqnarray*} M\subseteq M\cup M \end{eqnarray*}$ trivial ist ergibt sich aus dem oberen:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} x|x\in M\subseteq M\cup M \wedge x\not\in M \end{eqnarray*}$ }

Das stimmt nicht ganz. Wenn ich das richtig verstehe, hast du aus der Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} x\in M\cup M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M\subseteq M\cup M \end{eqnarray*}$ ist, gefolgert, dass $\begin{eqnarray*} x\in M\subseteq M\cup M \end{eqnarray*}$ ist. So einfach geht das aber nicht. Allgemein gilt nicht, dass wenn $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} B\subseteq A \end{eqnarray*}$ , dann auch $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ ist.

Man könnte es so machen: Angenommen, es gibt ein $\begin{eqnarray*} x\in M\cup M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\not\in M. \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} x\subseteq M\cup M \end{eqnarray*}$ gilt dann $\begin{eqnarray*} x\in M\vee x\in M \Rightarrow x\in M. \end{eqnarray*}$ Das ist aber ein Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} x\not\in M. \end{eqnarray*}$ Also war die Annahme falsch. Damit gilt für alle $\begin{eqnarray*} x\in M\cup M \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ ist.
D.h. $\begin{eqnarray*} M\cup M\subseteq M \end{eqnarray*}$

19.04.2013, 16:35

shark32

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist so einfach, wenn man es liest Big Laugh

Dankesehr!

19.04.2013, 16:38

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Das denke ich mir auch manchmal bei Übungsaufgaben an der Uni: Ich komm nicht auf die Lösung, und wenn ich die dann sehe, denke ich: Mist, das ist so einfach, da hätte ich ja auch selber draufkommen können. Hammer

19.04.2013, 17:07

shark32

Auf diesen Beitrag antworten »

nächste Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} M\cap M = M \end{eqnarray*}$

Diesmal gilt $\begin{eqnarray*} x\in M\cap M \Rightarrow x\in M \wedge x\in M \Rightarrow x\in M \end{eqnarray*}$

und daraus schließlich:

$\begin{eqnarray*} M\cap M = M \end{eqnarray*}$

Oder hab ich etwas nicht bedacht? Rein logisch gilt ja auch hier wieder: solange es kein $\begin{eqnarray*} x\not\in M \end{eqnarray*}$ gibt, muss der Ausdruck stimmen.

19.04.2013, 17:18

Mathesüchtiger

Auf diesen Beitrag antworten »

Damit hast du aber nur gezeigt, dass jedes Element aus dem Durschnitt von M und M in M liegt.

D.h. du hast nur gezeigt:

$\begin{eqnarray*} M \cap M \subseteq M \end{eqnarray*}$

Zu zeigen bleibst also noch, das jedes Element aus M auch im Durchschnitt von M und M liegt.

Edit: Ich denke, du hättest auch direkt die Äquivalenz zeigen können smile

19.04.2013, 17:39

shark32

Auf diesen Beitrag antworten »

An die Äquivalenz habe ich auch gedacht, aber ich begreife nicht ganz, wie ich sicherstelle, dass die Teilmengen disjunkt sind.

So würde ich mir das vorstellen:

Ich zeige, dass sowohl x als auch y in M liegen und beweise somit, dass M identisch mit M ist und der rest ist dann trivial.

Oder wie habe ich mir das vorzustellen?

Edit: Kann die Beweisführung nicht umgekehrt werden? ich bin mir nicht sicher ob es logisch ist zu sagen:

$\begin{eqnarray*} x\in M \Rightarrow x\in M\wedge x\in M \end{eqnarray*}$

...aber etwas unlogisches sehe ich auch nicht Big Laugh

19.04.2013, 17:49

Mathesüchtiger

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von shark32

$\begin{eqnarray*} x\in M \wedge x\in M \Rightarrow x\in M \end{eqnarray*}$

Ich würde sagen, dass es vollkommen ausreichen würde, den "daraus folgt- Pfeil" durch ein Äquivalenzpfeil zu ersetzen.

Es gilt trivialerweise:

Alle x , die sowohl in M als auch in M liegen, liegen in M und alle x , die in M liegen, liegen in M und in M. (Wie sich das anhört LOL Hammer

)

19.04.2013, 17:56

shark32

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich nur wüsste was trivial ist und was nicht... vom verständnis ist alles was ich die letzten stunden gemacht habe extrem trivial, vielleicht macht dass das beweisen so untrivial verwirrt

Neue Frage »

Antworten »

Mengenaussagen beweisen

Verwandte Themen