Exponentielles Wachstum, jeden Tag verdoppelt

19.04.2013, 15:17

gundula

Exponentielles Wachstum, jeden Tag verdoppelt

Meine Frage:
Eine Gärtnerei macht das Lohnangebot, dass es am ersten Tag 3ct gibt, und die dann verdoppelt werden, das Ergebnis wird dann vom Verdoppelten verdoppelt, und so weiter. Also immer das Doppelte vom Vortag, 15 Tage lang. Wie komme ich da auf den Term?

Meine Ideen:
allgemeine Formel f(x)= a * b^x

Die Aufgabe aus der ich das Übertragen soll lautet so:

Konto mit 100?, 1,75% Zinsen pro Jahr und mit einer Rechnung die ich nicht im Mindesten verstanden habe, kamen wir dann auf den Term f(x)=100*1,0175^x

Von der Tafel abgeschrieben:

nach 1 Jahr:

100+0,0175 + 100 = 100(0,0175+1) = k(am Fuß von k eine 1)

nach 2 Jahren:

k(Fußnote 2) = k(Fußnote 1) * 0,0175 + k(Fußnote1)
=(100 * 1,0175)^2
[abgeschriebenes Ende]

Bei der ersten zeile (100+0,0175 + 100) verstehe ich ja, dass 0,0175 die Zinsen sind und mit +100 das Kapital dazu gerechnet wird.

Aber bei meiner Aufgabe gibt es ja garkeine Zahl für das Wachstum also Prozentzahl oder sonst was? Welche der Zahlen die ich in der aktuellen Aufgabe habe kommt wo rein? a=3ct, nehme ich an, aber wie komme ich auf b, das ja in der Beispielaufgabe mit einem Prozentsatz berechnet wurde, den ich garnicht habe. Selbst wenn ich sie hätte würde sie doch nicht eins zu eins so eingesetzt? oder doch?

19.04.2013, 15:55

Kasen75

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Hallo,

du schreibst:

Zitat:

100+0,0175 + 100 = 100(0,0175+1) = k(am Fuß von k eine 1)

Das stimmt nicht ganz. Es ist:

$\begin{eqnarray*} k_1=100+ 0,0175 \textcolor{red}{\cdot} 100=101,75 \end{eqnarray*}$

Jetzt zu deiner eigentlichen Aufgabe. Du hast ja die richtige allgemeine Formel: $\begin{eqnarray*} f(x)=a \cdot b^x \end{eqnarray*}$

a ist der Startwert von 3ct.

Am ersten Tag ist x=0, da noch nicht verdoppelt wird. Der y-Wert ist somit 3.

Am zweiten Tag wird verdoppelt. Somit hast du bei x=1 den y-Wert 6.
Den Wert für a und die Werte für x=1 und y=6 kannst du jetzt in die allgemeine Formel einsetzen und den Wert für a bestimmen.
Dann hättest du die Funktion für den Geldbetrag, den der Gärtner am x+1-ten Tag bekommt.

x+1 deswegen, weil am ersten Tag noch keine Erhöhung stattfindet und $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Aber bei meiner Aufgabe gibt es ja garkeine Zahl für das Wachstum also Prozentzahl oder sonst was?

Doch. Es wird ja verdoppelt. Wenn man dies in Zinsen ausdrückt heißt das:

$\begin{eqnarray*} 1+p=1+100%=2 \end{eqnarray*}$

Grüße.

19.04.2013, 17:42

Gundula1234

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Vielen Dank erstmal für die Antwort.

Das Problem ist, dass x=0 nicht y=3 ist, denn am 0ten Tag bekommst du ja kein Geld. Ich telefoniere gerade mit einer Freundin und die ist über irgendwelche Wege auf (3/2) * 2^x gekommen, was wenn ich nachrechne anscheinend stimmt(?): (Im taschenrechner doof mit immer mal 2 gerechnet: 1.Tag=3, 2.Tag=6, 3.Tag=12, 4. Tag=24) (3/2) * 2^4 = 24

19.04.2013, 18:03

Kasen75

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Was deine Freundin hat, stimmt natürlich auch.

Bei mir ist die Variable x wie folgt definiert:

x=Anzahl der Tage der Erhöhungen des Lohns.

$\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ : keine Erhöhung $\begin{eqnarray*} \Rightarrow 3ct \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ : 1. Erhöhung: $\begin{eqnarray*} \Rightarrow 6ct \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ : 2. Erhöhung: $\begin{eqnarray*} \Rightarrow 12ct \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Bei mir ist somit x nur anders definiert.

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