Beweis Differentialgleichung

Neue Frage »

Beweismietze-niete Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Differentialgleichung
Meine Frage:
Ahoj Matrosinnen und Matrosen, alle Wochen wieder kommt es zu einer Beweisaufgabe... und ich würde gerne mal eine lösen. Es geht um Differentialgleichungen konkret:

Sei und besitze die spezielle Lösung . Im Teilintervall gelte für alle .

eine weitere von linear unabhängige Lösung erhält, wobei
differenzierbare Funktionen mit sind, die den Differentialgleichungen genügen.


Meine Ideen:
Ich hoffe Steffen Bühler muss meine Latexeingabe nicht korrigieren und kann sich ganz der Aufgabe widmen :P Big Laugh (Spaß bei Seite jetzt)

Ich habe erhebliche Schwierigkeiten wie ich ansetzen soll um die Aufgabe zu lösen. Was zu machen ist steht ja eigentlich, nur das Problem ist es irgendwie anzusetzen? Kann mir jemand bitte behilflich sein? Es liegt mir echt am Herzen, danke.
beweismietze-niete Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Differentialgleichung
Sei und eine stetige Abbildung. Die Differentialgleichung besitze die spezielle Lösung . Im Teilintervall gelte für alle .

Zeigen Sie, dass man durch den Ansatz eine weitere von linear unabhängige Lösung erhält, wobei
differenzierbare Funktionen mit sind, die den Differentialgleichungen genügen.

Hab nochmal die Aufgabenstellung korrigiert und hoffe doch sehr, dass mir jemand helfen mag traurig
 
 
student_t Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Differentialgleichung
Du kannst erstmal dein in die DGL einsetzen, das solltest du dann so aufteilen können, dass du zeigst, dass eine Lösung ist, falls u und g die entsprechenden DGLs erfüllen. Dann musst du nur noch lineare Unabhängigkeit zeigen, was eigentlich klar sein sollte.

Gruß
beweismietze-niete Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Differentialgleichung
Ok. Ich versuche es mal und berichte gleich davon verwirrt . Danke.
beweismietze-niete Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Differentialgleichung
Zitat:
Original von student_t
Du kannst erstmal dein in die DGL einsetzen, das solltest du dann so aufteilen können, dass du zeigst, dass eine Lösung ist, falls u und g die entsprechenden DGLs erfüllen. Dann musst du nur noch lineare Unabhängigkeit zeigen, was eigentlich klar sein sollte.


Ich soll das in die DGL einsetzen und dann aufteilen. verwirrt Ich weiß nicht wie, bzw. was genau was ist.

Wir haben einmal die Matrix und die DGL besitze die spezielle Lösung . Im Teilintervall gelte für alle .

Zeigen Sie, dass man durch den Ansatz eine weitere von linear unabhängige Lösung erhält, wobei
differenzierbare Funktionen mit sind, die den Differentialgleichungen genügen.

Ich bin ratlos unglücklich Ich weiß einfach nicht wie ich das einsetzen soll.
Unser ist doch und wo soll man das einsetze?
Un-aachen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Differentialgleichung
kann sich niemand erbarmen zu helfen?
Hänge bei der selben Aufgabe unglücklich
student_t Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Differentialgleichung
Um zu zeigen, ob bzw. wann eine Lösung ist, musst du es für y in die DGL y'=Ay einsetzen. Daraus bekommst du dann neue DGLs für u und g, die den genannten entsprechen sollten.
beweismietze-niete Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Differentialgleichung
Ich weiß immer noch nicht was ich wo einsetzen soll. Kann mir das jemand illustrieren, dann kann ich vielleicht irgendwie handeln Freude
Un-aachen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Differentialgleichung
......Pardon. Je ne l'ai pas compris......
Kein Plan... ich hasse so Aufgaben..... wofür braucht man Beweise, rechnen können ist doch tausend mal wichtiger unglücklich unglücklich
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Beginne erst mal damit, dass du differenzierst. Wenn du dich fragst, wie man eine vektorwertige Funktion differenziert:



Im nächsten Schritt wendest du die Differentialgleichung an, setzt also in für ein. Zur Vereinfachung berücksichtigst du, dass eine Lösung dieser DGl ist.
beweismietze-niete Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Beginne erst mal damit, dass du differenzierst. Wenn du dich fragst, wie man eine vektorwertige Funktion differenziert:



Soll ich g' und u' also: aufleiten und dann da einsetzen für u(x) und g(x)?

Weil ich weiß das nicht was ich da ableiten sollte, das ist so abstrakt - ich sehe einfach nicht was ich machen soll... das bringt mich zur totalen Frustration. Noch paar Semester und ich muss mir eine Perrücke kaufe. Wenn ich das jetzt ableiten soll dann mache ich doch einfach nur die Ableitung dran also:

eine weitere von

Weil es steht ja nicht explizit, was genau was ist. Das ist ja alles allgemein gehalten.

Zitat:
Original von RavenOnJ
Im nächsten Schritt wendest du die Differentialgleichung an, setzt also in für ein. Zur Vereinfachung berücksichtigst du, dass eine Lösung dieser DGl ist.


Damit bin ich überfordert. traurig
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Du kennst nicht die Produktregel für das Ableiten einer Funktion, die Produkt von Funktionen ist? Die ist eine der absolut grundlegenden Beziehungen, um Ableitungen effizient berechnen zu können. Es gilt:



oder ohne die Funktionsargumente



Benutze diese Regel für die Ableitung von .

Außerdem vermeide bitte den Begriff "aufleiten". Dies mag in manchen Schulen inzwischen zu den üblichen Begriffen zu gehören, allerdings nicht in der Mathematik. Es heißt "integrieren" und nichts anderes.
beweismietze-niete Auf diesen Beitrag antworten »

Okay. Aber woher soll ich das wissen. Die Produktregel ist mir schon geläufig... vielmehr zu erkennen, dass bei dem Konstrukt eine Produktregel existiert ist das Problem.


ergibt die Produktregel.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist jetzt richtig. Man kann dies vereinfacht schreiben in der Form



Wo lag die Schwierigkeit? Dass in der Funktion ein Produkt vorkommt, ist doch nicht schwer zu erkennen. verwirrt

Gehe nun weiter und setze diese Ableitung und die nicht-abgeleitete Funktion in die Differentialgleichung ein. Benutze dabei erstmal nur die Form , d.h. ohne die DGl in ihre Vektorkomponenten aufzudröseln. Daraus kann man dann schon eine Vereinfachungsmöglichkeit erkennen.
beweismietze-niete Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Differentialgleichung




Ja, wenn man darauf hingewiesen wurde. In also, ohne sie in die Vektorkomponenten aufzudröseln verwirrt Genau das würde ich jetzt tun, daher mache ich den Schritt nicht, wenn du das sagst.

Wie soll ich es denn in einsetzen?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sagte "erst mal". Letztendlich muss du dies natürlich in Vektorkomponenten schreiben. Möglicherweise verstehst du jetzt wieder nicht was ich meine. Mit "nicht in Vektorkomponenten" meine ich, erst mal nicht schreiben



sondern einfach nur



und dann natürlich in die einzelnen Summanden auflösen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt was Anderes zu tun und kann erst heute Abend wieder reinschauen. Bis dahin kann diesen Thread jemand anders betreuen.
beweismietze-niete Auf diesen Beitrag antworten »

Okay. Ich glaube ich weiß was du meinst:






sondern einfach nur

So und jetzt?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nicht falsch, nur an diesem Punkt im Beweisablauf unnötig. Deswegen sagte ich, erst mal nicht in die beiden Vektorkomponenten aufdröseln, sondern die DGl in den jeweiligen Summanden von und schreiben. Das kann doch nicht so schwierig sein unglücklich . Die Darstellung von und durch seine Summanden liegt dir doch jetzt vor. Nimm also



und



und setze in die DGl ein. Die dann resultierende DGl kannst du vereinfachen, indem du berücksichtigst, dass nach Voraussetzung die DGl erfüllt.
beweismietze-niete Auf diesen Beitrag antworten »

? Sehe ich nichts verwirrt
und



Hier geht ja das.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von beweismietze-niete
? Sehe ich nichts verwirrt


unglücklich Dann guck dir mal dein 1. Posting an und die Definition von .

Zitat:




und was soll das jetzt? verwirrt Wie kommst du da drauf?
beweismietze-niete Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von beweismietze-niete
Sei und eine stetige Abbildung. Die Differentialgleichung besitze die spezielle Lösung . Im Teilintervall gelte für alle .


Zeigen Sie, dass man durch den Ansatz eine weitere von linear unabhängige Lösung erhält, wobei
differenzierbare Funktionen mit sind, die den Differentialgleichungen genügen.


Hm. Ich werde daraus einfach nicht schlau böse
Zitat:
Original von RavenOnJ
Die Darstellung von und durch seine Summanden liegt dir doch jetzt vor. Nimm also
und



und setze in die DGl ein. Die dann resultierende DGl kannst du vereinfachen, indem du berücksichtigst, dass nach Voraussetzung die DGl erfüllt.


Ja ich habe das und eingesetzt in meinem Posting davor.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Du verstehst anscheinend wirklich nicht, worum es geht. Dass die Differentialgleichungen aus deinem 1. Posting für u und g gelten, soll doch erst gezeigt werden. Die kannst du doch dann nicht voraussetzen! Ich versuche die ganze Zeit, dir klar zu machen, wie man dahin kommt, aber du gehst einfach nicht auf meine Tipps ein.

Entweder du liest dir alles noch mal durch und nutzt meine Tipps, oder wir lassen das Ganze.

Außerdem heißt es:
beweismietze-niete Auf diesen Beitrag antworten »

Also:







Auf die Weise einsetzen?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Wie kann man das weiter vereinfachen?
beweismietze-niete Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Ja. Wie kann man das weiter vereinfachen?




Nunja man kann es rechts ausmultiplizieren und links sehe ich keine Vereinfachungsmöglichkeiten.

RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

und weiter? Beachte, dass die DGl erfüllt. Wie kann man also weiter vereinfachen?
beweismietze-niete Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
und weiter? Beachte, dass die DGl erfüllt. Wie kann man also weiter vereinfachen?




Wir haben links als auch rechts von der Gleichung ein mhm verwirrt

Nach auflösen? Trennung der Variablen?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

unglücklich Du stocherst echt im Nebel.

erfüllt die DGl, also . Was folgt daraus für deine DGl in ?
beweismietze-niete Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
erfüllt die DGl, also . Was folgt daraus für deine DGl in ?


ist eine weitere linear unabhängige Lösung von
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

nicht allgemein, sondern konkret in deiner Rechnung.
beweismietze-niete Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
nicht allgemein, sondern konkret in deiner Rechnung.




ist eine Funktion die sich aus zusammensetzt - konkret?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Drücke ich mich so missverständlich aus? verwirrt

Du hast einerseits



und andererseits



Wie kann man nun (*) mittels (**) vereinfachen?
beweismietze-niete Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Drücke ich mich so missverständlich aus? verwirrt

Vielleicht nicht so beispielbezogen und bisschen allgemein gehalten. Mit diesem Posting z.B. weiß ich was du meinst mit dem davor weniger. Freude

Wenn wir einerseits



und andererseits



haben. Kann man nun (**) in (*) einsetzen und wir bekommen:



Jetzt fällt auf beiden Seiten dies weg und wir bekommen:



Und jetzt können wir unser und einsetzen?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gebe dir ganz schön konkrete Hinweise, du liest sie nur nicht richtig.

Auf deine Gleichung (****) wollte ich hinaus. Dir war dabei hoffentlich klar, warum man A und u vertauschen kann, also . Dies geht, weil u eine skalare Größe ist, kein Vektor.

Trotzdem verstehst du anscheinend immer noch nicht, was eigentlich zu zeigen ist. Du sollst jetzt nicht einsetzen, sondern es sollen jetzt Differentialgleichungen für gefunden werden bzw. es soll gezeigt werden dass diese DGls die in der Aufgabe geschriebene Form haben.

Schreib jetzt also die DGl (****) in der voll ausmultiplizierten Form hin, für beide Vektorkomponenten getrennt.
beweismietze-niete Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Differentialgleichung
Zitat:
Original von RavenOnJ
Trotzdem verstehst du anscheinend immer noch nicht, was eigentlich zu zeigen ist. Du sollst jetzt nicht einsetzen, sondern es sollen jetzt Differentialgleichungen für gefunden werden bzw. es soll gezeigt werden dass diese DGls die in der Aufgabe geschriebene Form haben.

Ja hast recht. Ich habe mich mit dem Einsetzen irgendwie Festgefahren, ohne mir dabei im Klaren gewesen zu sein, dass wir dies ja zeigen sollen.

Also:

einsetzen:



Für beide Vektorkomponenten getrennt? Also jeweils einmal nur g' eingesetzt und einmal nur u' eingesetzt?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Differentialgleichung
Du schreibst dies (und in mir keimte schon Hoffnung auf):

Zitat:
Original von beweismietze-niete

Ja hast recht. Ich habe mich mit dem Einsetzen irgendwie Festgefahren, ohne mir dabei im Klaren gewesen zu sein, dass wir dies ja zeigen sollen.


..., aber postwendend machst du dies: böse

Zitat:

Also:

einsetzen:



Für beide Vektorkomponenten getrennt? Also jeweils einmal nur g' eingesetzt und einmal nur u' eingesetzt?

böse
Wie oft soll ich es noch schreiben:

Nimm deine DGl (****) und multipliziere die aus. Schreib das Resultat dann für beide Vektorkomponenten getrennt auf.
beweismietze-niete Auf diesen Beitrag antworten »

Ouhje traurig



Rechts ok.


Und links? verwirrt
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

ja, links verwirrt ? ist ebenfalls ein Vektor.
beweismietze-niete Auf diesen Beitrag antworten »



Rechts ok.


Also mit ist gemeint, oder?

Und mit , richtig?

Dann ergibt das doch:





smile ?
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »