Charakteristisches Polynom und Diagonalisierbarkeit

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Nighel123 Auf diesen Beitrag antworten »
Charakteristisches Polynom und Diagonalisierbarkeit
Moin,

Wenn ich ein charakteristisches Polynom vom Grad 3 habe. Und ich finde im Reelen nur eine Nullstelle. Im Komplexen aber 3 heißt dass dann dass ich die Matrix im Reelen nicht dieagonalisieren kann im komplexen aber schon?

Gruß Nickel
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Charakteristisches Polynom und Diagonalisierbarkeit
Genau. Vorausgesetzt das Polynom ist reell, sonst muss man noch gucken, ob die komlpexen Nullstellen nicht gleich sind.
Nighel123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Charakteristisches Polynom und Diagonalisierbarkeit
kann man sich irgendwie denken warum das so ist oder ist das komplizierter?

Gruß Nickel
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Unter deinen Vorraussetzungen (und der Tatsache, dass das Polynom reell sein sollte, wie IfindU angemerkt hat) gibt es 3 verschiedene Eigenwerte. Das ist hinreichend für Diagonalisierbarkeit.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Charakteristisches Polynom und Diagonalisierbarkeit
Du kannst das kubische Polynom zum quadratischen machen, indem du Polynomdivision durchführst. Waren beide reell, ist auch das quadratische reell. Nun sieht man, dass für jede komplexe Nullstelle auch das komplex-konjugierte eine Nullstelle ist.

Da du mit komlex vermutlich nicht reell meintest, haben wir also 2 verschiedene Nullstellen. Dementsprechend drei verschiedene Nullstellen, und damit ist algebraische und geometrische Vielfachheit gleich, was ein Kriterium für Diagonaliserbarkeit ist. (Jeder Eigenwert besitzt einen Eigenenvektor -- die stehen orthogonal aufeinander, bilden also eine nette Basis).
Mathesüchtiger Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Charakteristisches Polynom und Diagonalisierbarkeit
Zitat:
Original von IfindU(Jeder Eigenwert besitzt einen Eigenenvektor -- die stehen orthogonal aufeinander, bilden also eine nette Basis).


War das nicht nur bei selbstadjungierten Abbildungen so? verwirrt
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Charakteristisches Polynom und Diagonalisierbarkeit
Kann sehr gut sein, dass ich mich da zu weit aus dem Fenster gelehnt habe. Wenigstens linear unabhängig sind sie.
Nighel123 Auf diesen Beitrag antworten »

was ist denn noch mal die geometrische Vielfachheit? Der Rang meiner Matrix?

Gruß Nickel
Mathesüchtiger Auf diesen Beitrag antworten »

Die geometrische Vielfachheit ist gleich der Dimension eines Eigenraumes.
Nighel123 Auf diesen Beitrag antworten »

aber den Eigenraum bestimme ich doch aus den eigenwerten ? :S
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Nach Definition eines Eigenvektors ist jeder Eigenraum wenigstens eindimesional. Sind alle Eigenwerte verschieden, impliziert dies die algebraische Vielfachheit ist eins. Beides kombiniert für zur "trivialen" Aussage, dass jeder Eigenwert einen ("verschiedenen") Eigenvektor besitzt und du damit fertig bist.
Nighel123 Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn ich das jetzt mal stumpf formulieren darf: Wenn ich eine Nullstelle finde, darf diese Nullstelle nur zu einem eindimensionalen Eigenraum führen? Weil sonst die algebraische Vielfachheit nicht gleich der geometrischen ist?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, wenn sie zum eindimensionalen Unterraum führt, darf ein Eigenwert nur einmal auftauchen.

Das Problem mit Diagonlisierbarkeit tritt auf, wenn eine Matrix "häufig" nur einen Eigenwert hat. Die Frage die man sich dann stelllt: Gibt es genug Eigenvektoren, damit jeder Eigenwert einen "eigenen" Eigenvektor bekommt? (Ich benutze Anführungszeichen, da die Ansammlung aller Eigenvektoren linear unabhängig sein muss). Hast du genug Eigenwert, hast du keine Probleme. Nach Defintiion eines Eigenwertes gibt es dann wenigstens einen Eigenvektor. Damit sich alle Vielfachen davon auch Eigenenvektoren -- du bekommst deinen Eigenraum.

Falls du aber 5 Eigenwerte hast, und nur einen Eigenvektor (die Eigenwerte teilen sich diesen Eigenvektor) bekommst du Probleme. Hast du aber dann 5 lineare unabhängige Eigenvektoren, hast du wiederrum keine Probleme.
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