Beweis zu teilerfremden Polynomen

20.04.2013, 14:19	MadCookieMonster	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zu teilerfremden Polynomen Hallo Leute, ich habe hier einen Beweis, bei dem ich leider keinen wirklichen Ansatz finde. Folgende Aufgabe: Seien $\begin{eqnarray} P,Q \in K[X] \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ sind teilerfremd $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ Es existiert $\begin{eqnarray} R,S \in K[x] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} RP + QS = 1 \end{eqnarray}$ Mein Ansatz: Leider noch nicht wirklich was. Ich weiß nur, dass wenn P und Q teilerfremd sind, dass der größte gemeinsame Teiler 1 ist. Irgendwer nen kleinen Tipp, wie man startet? LG, MCM
20.04.2013, 14:21	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Was weißt du denn so über $\begin{eqnarray} K[X] \end{eqnarray}$ ? Stichworte: euklidischer Ring und Hauptidealring.
20.04.2013, 14:33	MadCookieMonster	Auf diesen Beitrag antworten »
Beide Begriffe sagen mir leider überhaupt nichts. Entweder hatten wir das noch nicht oder ich habe irgendwas verpasst. Ich habe mich gerade einmal versucht schlau zu machen. Folgende Sachen habe ich rausgefunden: Ich weiß jetzt, dass $\begin{eqnarray} K[X] \end{eqnarray}$ ein euklidischer Ring ist und die euklidische Norm ist der Grad des Polynoms. Im allgemeine ist im euklidischen Ring die "Division mit Rest" vorhanden. Ich weiß jetzt nicht ob sich damit schon was anfangen lässt aber in meinem Kopf schwirrt nun folgendes: Wenn ich P und Q teilen würde dann müsste ich ja nur ein Restpolynom erhalten, weil P und Q teilerfremd sind. Dieses Polynom ist doch in $\begin{eqnarray} K[X] \end{eqnarray}$ vorhanden? Ist der Gedanke richtig?

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