Unendlichkeit der Primzahlen nach Euler

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saimen Auf diesen Beitrag antworten »
Unendlichkeit der Primzahlen nach Euler
Meine Frage:
Hallo smile

ich halte bald einen Vortrag über die Unendlichkeit der Primzahlen. Dafür soll ich mehrere Beweise aus dem Buch der Beweise vorstellen.
Die Beweise von Euklid und Goldbach sind kein Problem. Den Beweis nach Euler verstehe ich im Großen und Ganzen,habe aber leider einige kleine Verständnisprobleme.
Ich habe den Beweis als Bild angehängt. Im Grunde habe ich zwei Fragen.

Log(x)<=1+ 1/2+....1/n ist verständlich. aber warum ist Die Summe von 1/m größer als dieses 1+1/2+...1/n ?? und was ist m genau? Diesen Satz daneben verstehe ich leider nicht. Wieso wäre die Summer der Primzahlen dann größer?

Das zweite Problem ist warum p>= k+1 ist. Wird das einfach festgelegt oder woher weiß ich das?

Vielen lieben Dank im Voraus!

Grüße Saimen

Meine Ideen:
Wie gesagt, die Grundaussage des Beweises verstehe ich. Nur macht mir das "m" und dieses p>=k+1 Probleme.
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unendlichkeit der Primzahlen nach Euler
hallo,
habe mir den beweis angeguckt. Zu deinen fragen:
Die summe der 1/m muss deswegen grösser als die andere summe sein, weil die nenner der brüche
1, 1/2, ...bis 1/n sowieso nur primfaktoren bis n enthalten können, aber dann kommen noch
einige brüche hinzu, das heisst m kann noch höhere werte als n annehmen.
Zur zweiten frage: p_k ist ja die k-te primzahl (der grösse nach geordnet und mit der kleinsten
beginnend) und muss ja dann grösser als k+1 sein, da die primzahlen ab p_2=3 mindestens 2erabstand
haben, z.B ist p_5=11 grösser als 6.
gruss ollie3
saimen Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle antwort. Also des mit p > k+1 hab ich verstanden, danke smile

Aber das mit m und n versteh ich immmer noch nicht. Im beweis steht doch, dass die summe von m nur primzahlen p<x enthält. n sind doch natürliche zahlen. Oder hab ich einen Denkfehler?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
...nein, m durchläuft nicht nur alle primzahlen <n , sondern sämtliche natürliche
zahlen, deren primfaktoren kleiner als n sind, das ist ein grosser unterschied.
z.B hat die zahl 26 nur primfaktoren, die <=13 sind.
gruss ollie3
saimen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok also sind m alle natürlichen Zahlen, die primzahlen p <x sind bzw. Zahlen, die in primfaktoren die p <x zerlegt werden können. Richtig? Und n sind dann nur Primzahlen? ? Und wasbringt mir eigentlich das n <x <n+1 ? Das n<x ist klar, aber ist es wichtig dass x <n+1 ist?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
Oje, ich befürchte du hast das immer noch nicht richtig verstanden.
Also, in der ersten summe läuft der nenner von 1 bis n (also die kehrwerte
aller natürlichen zahlen, nicht nur aller primzahlen bis n), bei der 2. summe
durchläuft m alle natürlichen zahlen, deren grösster primfaktor höchstens
gleich n ist, und das sind zwangsläufig viel mehr zahlen als bei der ersten
summe. Übrigens muss n selbst keine primzahl sein, das ist egal.
Achso, das x zwischen n und n+1 liegen soll, wird nur aus beweistechnischen
gründen gemacht.
gruss ollie3
 
 
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Es muss nicht sein. Die Abschätzung des Logarithmus nach oben durch die Summe gilt für alle . Sie folgt aus der Integraldarstellung des natürlichen Logarithmus

,

die durch die angegebene Riemannsche Obersumme mit Schrittweite 1 majorisiert wird.
saimen Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen dank, ich glaube ich habs verstanden smile
Könntest du mir vllt noch ein zahlen beispiel geben? Wenn jetzt n={1, 2, 3, 4, 5} wäre, dann is es doch 1 + 1/2 +1/3+1/4+1/5 = 2, 283333.... was wäre hier dann m?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

n ist eine Zahl, keine Menge. In deinem Beispiel wäre n=5. Es gilt dann für den Logarithmus von beispielsweise 5.99



Die m sind die Menge aller natürlichen Zahlen, deren Primfaktoren 2,3 und 5 sind, über alle möglichen Potenzen.
saimen Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, sollte auch ein großes N sein.

Also ist doch dann die summe über m unendlich oder? Weil es unendlich viele zahlen mit primfaktoren 2 bzw 3 bzw 5 gibt
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von saimen

Also ist doch dann die summe über m unendlich oder? Weil es unendlich viele zahlen mit primfaktoren 2 bzw 3 bzw 5 gibt


Diese Schlussfolgerung finde ich etwas seltsam, dann wäre deiner Meinung nach jede (unendliche) Reihe divergent. Außerdem wird nicht über die m summiert, sondern über deren Kehrwerte. Dass deren Summe endlich ist, zeigt doch der Rest des Beweises. Es wird ja dann letztendlich gezeigt (in dem Teil, den du nicht gepostet hast), dass gilt



wonach dann wegen der Unbeschränktheit des Logarithmus die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen folgt.
saimen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber es ging ja jetzt nicht um 1/m sondern nur um m. Deswegen habe ich gefragt, ob m dann unendlich wäre. Dass die Summe von 1/m gegen seinen grenzwert geht, ist mir klar. Bin ich jetzt richtig oder nicht? ^^ viele dank nochmal an alle
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also ist doch dann die summe über m unendlich oder?

So hattest du es geschrieben und so habe ich es verstanden. Deswegen mein Einwand.

Außerdem solltest du dich präziser ausdrücken:

Zitat:
Deswegen habe ich gefragt, ob m dann unendlich wäre.

m ist nicht unendlich, nur die Menge aller m deren Kehrwerte aufsummiert werden, es gibt schließlich unendlich viele Potenzen.
saimen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke, da hab ich mich dann wohl ungenau ausgedrückt.

Jetzt hätte ich noch eine frage zu dem teil, den ich nicht mehr mit drauf habe.
Warum ist dann das Produkt ( k=1 bis pi (x)) von k+1/k gleich dem pi (x) +1? Müsste net eigentlich 1 + 1/pi rauskommen? Ich weiß dass es falsch ist und das andere richtig. Wäre toll wenn du mir das noch erklären könntest
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man das weiterführt, was du nicht mehr gepostet hast, dann steht da



Der Ausdruck ganz rechts ist ein Teleskopprodukt. Allgemein gilt für Teleskopprodukte



In dem Beweis also




[Dir ist hoffentlich klar, dass die Abbildung nichts mit der Zahl Pi zu tun hat. Das nur am Rande.]
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
dann erkläre ich das mal zu ende: es handelt sich hier um ein teleskopprodukt.
Nimm z. B. k+1/k und lass k von 1 bis 3 laufen, dann hat man 2/1*3/2*4/3,
dann kann man immer den zähler mit dem nachfolgenden nenner kürzen, und
man erhält dann als ergebnis 4, das wäre dann k+1.
So, jetzt müsste eigentlich alles klar sein. smile
gruss ollie3
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

@ollie
schon passiert
saimen Auf diesen Beitrag antworten »

Das dieses pi ne abbildung ist und nichts mit pi an sich zu tun hat, ist mir bewusst^^

Ok, ich glaube ich versteh nun alles von diesem beweis. Ein teleskopprodukt war mir neu smile

Vielen vielen Dank an ollie3 und ravenOnj für die schnelle und kompetente Hilfe! Danke!

Jetzt werd ich mir noch den beweis nach Erdös aneignen. Vielleicht brauch ich dann nochmal eure Hilfe Big Laugh
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte sehr smile . Der Beweis von Erdös ist auch interessant, aber meiner Meinung nach nicht ganz so einfach wie der von Euler.

Letzteren kenne ich übrigens in einer etwas anderen Form als in der von dir präsentierten. Der geht direkt über die harmonische Reihe und deren Divergenz, sowie der Darstellung jeder natürlichen Zahl als eindeutiges Produkt von Primzahlpotenzen.
saimen Auf diesen Beitrag antworten »

Kann es sein, dass du den Beweis von Erdös mit Bertrand meinst?
Also den, dass zwischen n und 2n immer eine Primzahl sein muss?

Der Beweis von Erdös, den ich zeigen soll, ist meiner Meinung nach nicht so schwierig.
Oder sind in dem Beweis Schwierigkeiten vorhanden, die ich vielleicht übersehe?

Das ist der hier:
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte nicht, dass er schwierig ist, nur nicht ganz so einfach einzusehen wie der von Euler. Der Beweis von Betrands Postulat ist deutlich schwieriger (meiner Meinung nach), den meinte ich aber nicht. Eigentlich beweist der ja auch eine schärfere Aussage als nur die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen.
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