Relation von natürlichen Zahlen

20.04.2013, 19:07

Walküre

Relation von natürlichen Zahlen

Hi,

ich würde gerne wissen, was die Relation R = IN x P(IN) sein soll. Dass IN die natürlichen Zahlen und P(IN) die Potenzmenge dieser sind weiß ich. Doch was ist dann die Relation dieser beiden? Ich habe bereits ein wenig zu Relationen gelesen, das Prinip verstanden glaube ich auch, nur anwenden kann ich es nicht.

Mein Vorschlag wäre, dass die Relation einfach die natürlichen Zahlen sind.

20.04.2013, 19:16

Iorek

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Die Relation gibt es nicht. $\begin{eqnarray*} R=\mathbb N\times \mathcal P(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ ist erst einmal nur eine Menge, eben das kartesische Produkt von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal P(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ . Auf dieser Menge könnte man nun verschiedene Relationen definieren.

20.04.2013, 19:20

Walküre

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Was heißt das nun für mich? In der Aufgabenstellung steht einfach nur R = IN x P(IN).

20.04.2013, 19:25

Iorek

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Du hast also die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} R=\mathbb N\times \mathcal P(\mathbb N) \end{eqnarray*}$

Wenn das der Fall sein sollte, würde ich mich an den Assistenten wenden, das ist nämlich keine Aufgabe. Schreibe also auch noch den restlichen Aufgabentext auf, ansonsten kann man damit nichts anfangen.

20.04.2013, 19:26

Walküre

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Alles klar, sorry Finger1

Einen Moment...

20.04.2013, 19:28

weisbrot

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doch, das ist eine relation - zwischen natürlichen zahlen und teilmengen der natürlichen zahlen - wenn auch eine äußerst triviale, da jede natürliche zahl mit jeder teilmenge in relation steht (da R die ganze menge IN x P(IN) ist).
diese relation bedeutet also sozusagen nichts, wenn man so will.
lg

20.04.2013, 19:35

Walküre

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Aha, ok

Im Anhang mal die ganze Aufgabe. Was ist dann R in diesem Zusammenhang?

20.04.2013, 19:47

Iorek

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@weisbrot, "Die Relation auf R" hatte ich als "Bloß diese eine" gedacht. Man kann natürlich für zwei Mengen $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ das kartesische Produkt bilden und hat dann mit $\begin{eqnarray*} R=A\times B \end{eqnarray*}$ eine Relation, meistens wird ja aber eine echte Teilmenge betrachtet und auf entsprechende Eigenschaften überprüft (ist das eine reflexive/transitive/(anti-)symmetrische... Relation).

@Walküre, ich würde das in diesem Fall nicht als Relation bezeichnen, $\begin{eqnarray*} \mathbb N\times \mathcal P(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ kann man einfach nur als Menge betrachten, erst einmal ohne besondere Eigenschaften. Du sollst nun die Mengen $\begin{eqnarray*} D_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D_2 \end{eqnarray*}$ bestimmen. Welche Elemente sind denn alle in $\begin{eqnarray*} D_1 \end{eqnarray*}$ enthalten, was für Anforderungen werden gestellt?

20.04.2013, 19:59

weisbrot

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also ich frage mich wirklich was das für eine aufgabe ist - die bedingung $\begin{eqnarray*} \exists M (x,M)\in R \end{eqnarray*}$ ist z.b. völlig redundant, und die definition von D_2 ist auch logisch nicht einwandfrei. und solange man als R nicht irgendeine vernünftige relation nimmt kann ich auch nicht sehen, was die für einen lerneffekt bringen soll.. vielleicht ist da irgendwas bei der aufgabenstellung schiefgegangen??

Zitat:

@weisbrot, "Die Relation auf R" hatte ich als "Bloß diese eine" gedacht. Man kann natürlich für zwei Mengen $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ das kartesische Produkt bilden und hat dann mit $\begin{eqnarray*} R=A\times B \end{eqnarray*}$ eine Relation, meistens wird ja aber eine echte Teilmenge betrachtet und auf entsprechende Eigenschaften überprüft (ist das eine reflexive/transitive/(anti-)symmetrische... Relation).

wobei man das hier nicht kann, weil die relation ja inhomogen ist.

und @walküre: diese relation ist, so wies hier dasteht, unabhängig vom zusammenhang, einfach die triviale, in der alle entsprechenden paare in relation stehen.

lg

20.04.2013, 20:02

Walküre

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@ Iorek

Ich hoffe ich verstehe dich richtig. Das ist das erste Mal, dass ich überhaupt etwas mit Mengen zu tun habe.

zu a) D1 ist die Menge aller x, für die gilt, dass es die Teilmenge aus der Menge M und den natürlichen Zahlen IN ist. Sie hat die Eigenschaft, dass x und M Elemente von R und x ein Element von M ist.

Ist das soweit richtig? Hilfe

20.04.2013, 20:15

Iorek

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Zitat:

Original von weisbrot
wobei man das hier nicht kann, weil die relation ja inhomogen ist.

Es gibt ja noch genug andere Eigenschaften die man überprüfen kann, auch für inhomogene Relationen. Augenzwinkern

@Walküre, das stimmt so nicht. $\begin{eqnarray*} D_1 \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller Elemente $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die was erfüllen? $\begin{eqnarray*} \exists M\subseteq \mathbb N: (x,M)\in R~\text{und}x\in M \end{eqnarray*}$ . Versuch diese Aussage erst einmal zu übersetzen.

20.04.2013, 20:17

Walküre

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Das sollte meine Übersetzung sein... Hast du vllt. irgendeine Seite wo man was dazu nachlesen kann?

20.04.2013, 20:21

Iorek

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Dazu sollte sich etwas in deinen Vorlesungsmitschriften bzw. deinem Skript finden lassen.

Fang einfach kleinschrittig an: $\begin{eqnarray*} \exists M\subseteq\mathbb N \end{eqnarray*}$

20.04.2013, 20:25

Walküre

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Ich hatte diese Woche meine erste Vorlesung in Theoretische Informatik. In der Vorlesung selbst kam nichts dazu vor, nur indirekt etwas zu den anderen Aufgaben auf dem Übungsblatt. Im Skript steht leider absolut nichts zu Mengen.

Ich würde sagen das heißt:
Es gibt eine Menge M, welche Teilmenge der natürlichen Zahlen IN ist.

20.04.2013, 20:39

Iorek

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Einen groben Überblick kannst du z.B. auf Wikipedia finden.

Jetzt soll es nicht einfach nur zum Spaß so eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ geben, das ist der nächste Teil der jetzt übersetzt werden muss.

20.04.2013, 20:50

Walküre

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Der Wikipedia-Artikel half mir nicht wirklich weiter, zur Syntax steht da leider nicht viel.

Es gibt eine Teilmenge M für die gilt, dass M ein Element von R ist und x ein Element von M ist.

Richtig? Entschuldige bitte, dass das nur so häppchenweise voran geht... traurig

20.04.2013, 21:03

Iorek

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Jetzt formulieren wir das als Aussage: wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Bedingungen auf der rechten Seite erfüllt, dann ist es in der Menge enthalten.

Für welche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sind jetzt die Bedingungen erfüllt?

20.04.2013, 21:07

Walküre

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Die Bedingung ist für alle x erfüllt, die ein Element in der Teilmenge M der natürlichen Zahlen IN sind, wobei M und dementsprechend auch x wiederrum Elemente von R sind.

So besser?

20.04.2013, 21:27

Iorek

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Was soll denn die Teilmenge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ sein? Es gibt einige viele Teilmengen $\begin{eqnarray*} M\subseteq \mathbb N \end{eqnarray*}$ ...

Vielleicht solltest du dir auch zuerst einmal klar machen, was das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ letztendlich sein wird. Eine Menge, eine Funktion, eine Zahl, ein Apfelbaum...

20.04.2013, 21:38

Walküre

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D ist die Menge aller Zahlen x, die halt diese Bedingung erfüllen.

Das es unendlich verschiedene Teilmengen von IN gibt ist mir klar, aber ich weiß einfach nicht weiter. Ebenso wenig weiß ich, was jetzt eigentlich R sein soll.

20.04.2013, 21:48

Iorek

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Vergiss erst einmal das mit der Relation, wir haben einfach eine Menge $\begin{eqnarray*} A=\mathbb N\times\mathcal P(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ ; dass man das als Relation auffassen kann, soll uns jetzt nicht interessieren.

Welche Zahl(en) $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ erfüllt: es existiert eine Menge $\begin{eqnarray*} M\subseteq N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (x,M)\in A \end{eqnarray*}$ (was für eine Zahl muss $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ damit schon einmal sein?) und zusätzlich noch $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ ?

20.04.2013, 22:53

Walküre

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Ich denke, x müsste eine natürliche Zahl sein.

Übrigens vielen Dank schon mal soweit smile

20.04.2013, 23:06

Iorek

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Ja, aus $\begin{eqnarray*} (x,M)\in A \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ (allerdings hat weisbrot natürlich Recht, das ist eigentlich überflüssig da das auch mit $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ schon drinsteckt; auch dass die Aufgabe reichlich nervig ist).

Um mal $\begin{eqnarray*} D_1 \end{eqnarray*}$ etwas schneller anzugehen: gesucht sind alle (natürlichen) Zahlen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , für die eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} M\subseteq \mathbb N \end{eqnarray*}$ der natürlichen Zahlen existiert, sodass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ enthalten ist. Für welche natürlichen Zahlen gibt es nun immer so eine passende Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ?

20.04.2013, 23:16

Walküre

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Für alle natürlichen Zahlen, welche ein Element von R sind?

20.04.2013, 23:18

Iorek

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Da fehlt eine Begründung. Kannst du mir für eine beliebige natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ eine Menge $\begin{eqnarray*} M\subseteq \mathbb N \end{eqnarray*}$ angeben, sodass $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ ist?

20.04.2013, 23:31

Walküre

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Ich verstehe leider nicht genau was du meinst. Angenommen x ist 5, dann muss in M mindestens die 5 enthalten sein, damit x ein Element von M ist.

20.04.2013, 23:38

Iorek

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Kannst du für $\begin{eqnarray*} x=5 \end{eqnarray*}$ ganz konkret eine Menge angeben, die das erfüllt?

Wie sieht es danach mit $\begin{eqnarray*} x=7 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x=51 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x=61232 \end{eqnarray*}$ oder...allgemein $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ aus?

21.04.2013, 00:38

Walküre

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Die Menge muss lediglich x enthalten. Welchen Wert x hat ist egal. Ich weiß nicht ganz, worauf du hinaus willst... Hammer

Edit: Was mir grade so auffällt, es gibt unendlich viele Mengen, die die Bedingung, dass x enthalten ist, erfüllen könnten. Wolltest du darauf hinaus?

21.04.2013, 01:01

Iorek

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Dann gib diese Menge doch einfach an...

Für $\begin{eqnarray*} x=5 \end{eqnarray*}$ lässt sich etwa $\begin{eqnarray*} \{5\}\subseteq \mathbb N \end{eqnarray*}$ wählen (es gibt noch unendlich viele andere Mengen die man nehmen kann), also ist $\begin{eqnarray*} 5\in D_1 \end{eqnarray*}$ . Ebenso für $\begin{eqnarray*} x=8 \end{eqnarray*}$ , da kann man auch konkret eine Menge annehmen. Welche von den unendlich vielen Mengen du dir aussuchst, ist vollkommen egal.

21.04.2013, 10:19

Walküre

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Also ist D jetzt die Menge aller natürlichen Zahlen, wenn ich das richtig verstanden habe.

Doch was ist jetzt mit dem R? Muss man dieses nicht beachten, weil es eigentlich auch nur die Menge der natürlichen Zahlen darstellt?

21.04.2013, 10:56

Iorek

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$\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist das kartesische Produkt von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal P(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ , wie sollten das die natürlichen Zahlen sein? Die Elemente von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ sind Tupel, der erste Eintrag ist eine natürliche Zahl, der zweite Eintrag eine Teilmenge der natürlichen Zahlen. Da werden mit Sicherheit nicht die natürlichen Zahlen dargestellt. Und noch einmal: $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ kann man hier als Relation auffassen, das ist aber vollkommen überflüssig, da man auf die Relation nicht weiter eingeht, keine bestimmten Eigenschaften fordert etc., ich würde das hier einfach als Menge auffassen.

Ansonsten ist $\begin{eqnarray*} D_1=\mathbb N \end{eqnarray*}$ , ja.

21.04.2013, 13:21

Walküre

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Ok, danke. Dann hätte ich jetzt noch zu der Schreibweise eine Frage.

Wenn | soviel wie "unter der Bedingung" bedeutet, was bedeutet dann : ? Ich habe im Internet irgendwo gefunden, dass das soviel heißt wie "mit folgenden Eigentschaften". Aber wäre das nicht das gleiche wie eine Bedingung?

21.04.2013, 13:39

Iorek

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Der Strich $\begin{eqnarray*} \mid \end{eqnarray*}$ tritt häufig bei der beschreibenden Darstellung von Mengen auf. $\begin{eqnarray*} \{x\mid A(x)\} \end{eqnarray*}$ , die Menge aller $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die die Bedingung $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ erfüllen. In einer Aussage wird dafür der Doppelpunkt verwendet: $\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb R \exists y\in\mathbb R:x+y=0 \end{eqnarray*}$ , für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} y\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit/für die gilt/die die Gleichung erfüllen/mit der Eigenschaft... $\begin{eqnarray*} x+y=0 \end{eqnarray*}$ .

21.04.2013, 16:25

Walküre

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Alles klar! smile

Könntest du mir auch nochmal bei dem zweiten Teil der Aufgabe weiterhelfen?

D müsste hier ja die Menge aller M sein. Wenn x jedoch ein Element von M ist, dann müsste M ja wiederrum selbst eine Menge sein. Was für eine Menge ist jedoch M? M ist ja ein Element von R, aber was ist dann R für eine Menge?

21.04.2013, 16:45

RavenOnJ

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Weiter oben steht doch, was M ist: M ist ein Element der Potenzmenge $\begin{eqnarray*} \mathcal P(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ , also eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ . M ist kein Element von R, da R ja das kartesische Produkt von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ und seiner Potenzmenge ist, $\begin{eqnarray*} R :=\mathbb N\times\mathcal P(\mathbb N) \end{eqnarray*}$

In $\begin{eqnarray*} D_2 \end{eqnarray*}$ sind alle Teilmengen M von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ enthalten, für die es ein Tupel (x,M) gibt mit irgendeiner natürlichen Zahl $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ .

21.04.2013, 17:04

Walküre

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Wo steht denn, dass M ein Element der Potenzmenge P(IN) von IN ist? verwirrt

21.04.2013, 19:32

RavenOnJ

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Das kann man erkennen aus der Definition der Relation R einerseits und der Definition von $\begin{eqnarray*} D_2 \end{eqnarray*}$ andererseits.

21.04.2013, 21:04

Walküre

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Kannst du mir beide Gründe nochmal erklären? Ich gebe mir zwar die größte Mühe, aber verstehen tue ich es trotzdem leider nicht... unglücklich

21.04.2013, 22:06

RavenOnJ

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Es ist doch einerseits definiert

$\begin{eqnarray*} R=\mathbb N\times \mathcal P(\mathbb N) \end{eqnarray*}$

d.h. $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ sind alle Paare $\begin{eqnarray*} (x,M) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M\in \mathcal P(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} \mathcal P(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ der Potenzmenge (Menge aller Teilmengen) von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Andererseits ist $\begin{eqnarray*} D_2 \end{eqnarray*}$ definiert als

$\begin{eqnarray*} D_2 :=\{M ,M{\color{red}\in \mathcal P(\mathbb N)}|\exists (x,M)\in R\text{ mit }x\in M\} \end{eqnarray*}$

das rote habe ich zur Erläuterung ergänzt.

21.04.2013, 22:27

weisbrot

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es tut mir leid, aber ich ertrage diese mengennotationen einfach nicht.
hier eine vernünftige notation für diese mengen:

$\begin{eqnarray*} D_1=\{x\in\mathbb N | \exists M\in\mathcal P(\mathbb N): (x,M)\in R\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D_1=\{M\in\mathcal P(\mathbb N) | \exists x\in\mathbb N: (x,M)\in R\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x,M)\in R \end{eqnarray*}$ schreibt man auch als $\begin{eqnarray*} xRM \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x\sim_R M \end{eqnarray*}$ .

lg

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