Partialbruchzerlegung

20.04.2013, 19:09

Amplitude

Partialbruchzerlegung

Weshalb folgt aus $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x(x-1)^{2} }=\frac{A}{x} +\frac{B}{(x-1)} +\frac{C}{(x-1)^{2} } \end{eqnarray*}$ ?

Ich weiss, dass der Term folgendermaßen umgeschrieben werden kann:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x(x-1)^{2} }= \frac{1}{x(x^{2}-2x+1) } \end{eqnarray*}$

Hier kann man dann den Satz vom Nullprodukt auf den Nenner anwenden, wobei folgendes resultiert:

$\begin{eqnarray*} x1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x2=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x3=1 \end{eqnarray*}$

Das in der Partialbruchzerlegung sollte, dann mithilfe der Linearfaktorzerlegung folgendermaßen aussehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x(x-1)^{2} }=\frac{A}{x} +\frac{B}{(x-1)} +\frac{C}{(x-1) } \end{eqnarray*}$

Weshalb wird der Nenner im dritten Term quadriert ? Außerdem würde mich interessieren, ob mein Ansatz falsch ist.

Gruß.

20.04.2013, 21:38

Dopap

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RE: Partialbruchzerlegung

Zitat:

Original von Amplitude
Das in der Partialbruchzerlegung sollte, dann mithilfe der Linearfaktorzerlegung folgendermaßen aussehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x(x-1)^{2} }=\frac{A}{x} +\frac{B}{(x-1)} +\frac{C}{(x-1) } \end{eqnarray*}$

das sieht aber seltsam aus. die beiden letzen Summanden kann man doch addieren und es bleibt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x(x-1)^{2} }=\frac{A}{x} +\frac{D}{(x-1)} \end{eqnarray*}$ übrig ?

Das wichtigste zur Partialbruchzerlegung findest du hier:

[WS] Partialbruchzerlegung

20.04.2013, 22:13

Amplitudeee

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Stimmt, daran habe ich gar nicht gedacht, aber das stimmt immer noch nicht mit meiner Frage überein.^^

22.04.2013, 09:50

klarsoweit

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RE: Partialbruchzerlegung

Zitat:

Original von Amplitude
Weshalb folgt aus $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x(x-1)^{2} }=\frac{A}{x} +\frac{B}{(x-1)} +\frac{C}{(x-1)^{2} } \end{eqnarray*}$ ?

Ich sehe hier keine vollständige Frage. Was soll aus was folgen?

27.04.2013, 20:51

Amplitude

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RE: Partialbruchzerlegung

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Amplitude
Weshalb folgt aus $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x(x-1)^{2} }=\frac{A}{x} +\frac{B}{(x-1)} +\frac{C}{(x-1)^{2} } \end{eqnarray*}$ ?

Ich sehe hier keine vollständige Frage. Was soll aus was folgen?

Naja, ich möchte den Linken Term ebend umschreiben (Partialbruchzerlegen). Rechts kommt dann die Partialbruchzerlegung heraus ohne die Zählerwerte berechnet zu haben, denn das ist mir eigentlich egal. Mir geht es eher darum ob ich die richtige Linearfaktorzerlegung gewählt habe. Also die Brüche der rechten Seite stimmen.

27.04.2013, 20:56

Dopap

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formal gesehen ist das richtig.

27.04.2013, 20:58

Jayk

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Was heißt "formal"?

27.04.2013, 21:08

Amplitude

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Wieso wird denn aber im ganz rechten Term der Nenner quadriert? War mir eigentlich sicher, dass mein Ansatz richtig sei.

27.04.2013, 21:45

Dopap

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formal heisst, dass das konform mit den Regeln ist.

[WS] Partialbruchzerlegung

warum das so ist, dazu frag mal Equester .

28.04.2013, 00:29

grosserloewe

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Wenn es sich um eine doppelte Nullstelle handelt , wird der Nenner quadriert.
Iist es eine dreifache Nullstlelle , ist es es hoch 3 usw. smile

28.04.2013, 00:50

Dopap

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ja, genau das sind die Regeln. Der Threadsteller fragte nach dem warum

28.04.2013, 01:41

RavenOnJ

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RE: Partialbruchzerlegung

Zitat:

Original von Amplitude
... $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x(x-1)^{2} }=\frac{A}{x} +\frac{B}{(x-1)} +\frac{C}{(x-1)^{2} } \end{eqnarray*}$ ?

Weshalb wird der Nenner im dritten Term quadriert ?

Weil in der Partialbruchzerlegung in den Zählern der Summanden Konstanten stehen sollen. Wie willst du beispielsweise einen Quotienten

$\begin{eqnarray*} \frac{ax+b}{(x-c)^2} \end{eqnarray*}$

im Allgemeinen darstellen durch

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{(x-c)} \end{eqnarray*}$

oder durch

$\begin{eqnarray*} \frac{B}{(x-c)^2} \end{eqnarray*}$ ?

Dies geht nur mit einer Summe

$\begin{eqnarray*} \frac{ax+b}{(x-c)^2} = \frac{A}{(x-c)} + \frac{B}{(x-c)^2} \end{eqnarray*}$

mit der Lösung $\begin{eqnarray*} A=a, B = b+ac \end{eqnarray*}$ .

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