i^n für natürliche Zahlen berechnen

20.04.2013, 18:42

S_basket

i^n für natürliche Zahlen berechnen

Meine Frage:
Hallo zusammen :-)
Aufgabe 3 (b): Ich habe leider keinen blassen Schimmer was ich hier genau berechnen soll. Vor allem verwirrt mich der Hinweis.
Ein Ansatz wäre super!

Meine Ideen:
Ich würde jetzt lediglich sehen, dass bei geradem n -1 folgt und bei ungeradem n 1 folgt.

20.04.2013, 18:53

weisbrot

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RE: i^n für natürliche Zahlen berechnen

Zitat:

Ich würde jetzt lediglich sehen, dass bei geradem n -1 folgt und bei ungeradem n 1 folgt.

nein das stimmt nicht
mach doch einfach mal den ersten teil manuell und schau dir an, ob sich ein muster ergibt. dann verstehst du vielleicht auch den hinweis.
lg

20.04.2013, 19:17

S_basket

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RE: i^n für natürliche Zahlen berechnen

Zitat:

Original von weisbrot
nein das stimmt nicht mach doch einfach mal den ersten teil manuell und schau dir an, ob sich ein muster ergibt. dann verstehst du vielleicht auch den hinweis.
lg

Danke für den Hinweis Freude

Hatte ich schon bearbeitet aber falsch, wie von dir richtig angemerkt.
(a) müsste dann doch so aussehen:
$\begin{eqnarray*} i²=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} i³=-i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} i^{4} =1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} i^{5} =i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} i^{6} =-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} i^{7} =-i \end{eqnarray*}$

(b): Wenn ich den Hinweis betrachte, dann müsste ich doch für die genannten Fälle $\begin{eqnarray*} i^{4} =1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} i^{7} =-i \end{eqnarray*}$ betrachten, denn für das jeweilige n habe ich dann doch den Rest 0, 1, 2 und 3, oder?

20.04.2013, 19:25

weisbrot

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RE: i^n für natürliche Zahlen berechnen
ich glaube du meinst das richtige. man muss einfach erkennen, dass i^1=i^5=i^9=... , also allgemein i^(4k+1)=i , usw. das heißt (siehe hinweis): potenzen von i, deren exponenten gleichen rest beim teilen durch 4 lassen, sind gleich.
lg

20.04.2013, 19:37

S_basket

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RE: i^n für natürliche Zahlen berechnen
Ok, ich denke jetzt verstehe ich es komplett.
Dann müsste ich für die jeweiligen Fälle doch folgendes als Lösung schreiben:
$\begin{eqnarray*} \left[0\right]_{mod4}=> i^{4n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left[1\right]_{mod4}=> i^{(4n+1)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left[2\right]_{mod4}=> i^{(4n+2)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left[3\right]_{mod4}=> i^{(4n+3)} \end{eqnarray*}$

20.04.2013, 19:45

weisbrot

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RE: i^n für natürliche Zahlen berechnen
was soll da die lösung sein? bzw was soll das bedeuten?
lg

20.04.2013, 19:56

S_basket

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RE: i^n für natürliche Zahlen berechnen
Wenn ich jetzt für den jeweiligen Fall n 0,1,2 usw. setze, dann komme ich doch genau darauf, was du bereits angemerkt hast: man muss erkennen, dass exponenten, die beim Teilen den gleichen Rest lassen, gleich sind.
Also für n=0
$\begin{eqnarray*} \left[0\right] mod_{4}=>i^{4*0}=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left[1\right] mod_{4}=>i^{4*0+1}=i \end{eqnarray*}$

für n=1
$\begin{eqnarray*} \left[0\right] mod_{4}=>i^{4*1}=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left[1\right] mod_{4}=>i^{4*1+1}=i \end{eqnarray*}$

für n=2

$\begin{eqnarray*} \left[0\right] mod_{4}=>i^{4*2}=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left[1\right] mod_{4}=>i^{4*2+1}=i \end{eqnarray*}$

usw. entsprechend auch für die anderen Fälle.

Damit habe ich das doch für die einzelnen Fälle berechnet, oder nicht?

20.04.2013, 20:18

weisbrot

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RE: i^n für natürliche Zahlen berechnen
ja, ok, ich mag nur deine schreibweise irgendwie nicht. schreib doch mal genau auf was nun die lösung für allgemeines n ist.
lg

20.04.2013, 20:38

S_basket

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RE: i^n für natürliche Zahlen berechnen
Kann ich das hier überhaupt allgemein aufschreiben? Ich muss doch hier eine Fallunterscheidung machen!
So langsam hab ich keine Idee mehr...

20.04.2013, 21:01

weisbrot

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RE: i^n für natürliche Zahlen berechnen
ja genau. schreib es allgemein mithilfe einer fallunterscheidung (das ist kein widerspruch Augenzwinkern

).
lg

22.04.2013, 18:47

S_basket

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$\begin{eqnarray*} i^{n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \forall n\in \left[0\right]_{mod4} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} i^{4n} \end{eqnarray*}$

und entsprechend weiter für die anderen Fälle
Mehr weiß ich echt nicht

22.04.2013, 19:11

weisbrot

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ja, aber was ist denn $\begin{eqnarray*} i^{4n} \end{eqnarray*}$ für beliebiges n???

22.04.2013, 19:39

S_basket

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stimmt hab ich vergessen zu schreiben. dahinter steht dann =1

22.04.2013, 20:13

weisbrot

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genau. das würde man dann aber z.b. einfach so schreiben: $\begin{eqnarray*} i^n=\begin{cases}1\quad , n=0\quad\mathrm{mod}4\\...\end{cases} \end{eqnarray*}$ .
lg

22.04.2013, 20:28

S_basket

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Vielen vielen Dank für deine Mühe und Geduld! Freude

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