Schnitt- oder Berührpunkt

22.02.2007, 14:11	Linea	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnitt- oder Berührpunkt hallo, ich habe eine aufgabe in der ich zeigen soll das der punkt: $\begin{eqnarray} P_a(\frac{2}{a} / -\frac{1}{a}e^{-\frac{4}{a²}+1} ) \end{eqnarray}$ ein gemeinsamer Punkt von der Funktion $\begin{eqnarray} H: h(x)=-\frac{x}{2} e^{-x²+1} ; x\in R \end{eqnarray}$ und der funktionsschar $\begin{eqnarray} G_a: f(x)= -\frac{1}{a}e^{\frac{a}{2}x-x²} \end{eqnarray*}$ ist. ( a ungleich 0 ) Ich habe Pa in h(x) und Pa in Ga eingesetzt und habe auch eine wahre aussage erhalten. Jetzt soll ich allerdings noch überprüfen ob es sich bei Pa um einen Schnitt- oder Berührpunkt der grapghen H und Ga handelt. Mein ansatzt ist, dass ich es vieleicht über die anstiege der funktionen beweisen kann. wenn der anstieg gleich sein sollte, dürfte es eigentlich kein schnittpunkt werden. kann mir da bitte jemand weiterhelfen?
22.02.2007, 14:22	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnitt- oder Berührpunkt Im Prinzip richtig. Wobei die Frage die ist, wie in diesem Zusammenhang "Schnittpunkt" definiert ist. Für mein Verständnis müßte in einer Umgebung von diesem Punkt die einer Funktion größer als die andere sein. Betrachte dazu das Beispiel f(x)=x³ und g(x)=0.
22.02.2007, 14:23	Divergenz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnitt- oder Berührpunkt Hallo, also die Idee ist schon mal gut, aber noch ist ein kleiner Haken dran. Stell dir z.B. die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=x^3 \end{eqnarray}$ vor und entscheide, ob der Ursprung ein Schnitt- oder Berührungspunkt mit der x-Achse ist! Wir wissen, es ist ein Schnittpunkt, dennoch haben beide Kurven den Anstieg 0 in diesem Punkt. Also wie weiter?! Für dein Problem empfehle ich dir nicht einfach die Anstiege zu vergleichen, sondern dir die Differenzfunktion anzuschauen. Dann ist auch hier die Frage, schneidet oder berührt sie die x-Achse in dem gegebenen Punkt. Das lässt sich nun aber durch Untersuchung auf lokale Extrema in diesem Punkt entscheiden! LG Divergenz
22.02.2007, 16:44	Linea	Auf diesen Beitrag antworten »
an der geschichte mit dem anstieg 0 ist was dran. Ich habe trotzdem einmal die erste ableitung der funktionen gebildet und den punkt Xp eingesetzt. dabei erhalte ich den gleichen anstieg und es müsste sich um einen berührpunkt handeln. mit der differenzfunktion habe ich leider noch nie etwas berechnet und weis daher auch nicht wie ich vorgehen soll. könnt ihr mir das bitte in ein paar ansätzen darstellen?
23.02.2007, 08:09	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Angenommen x_0 ist die Stelle von dem Berührpunkt der Funktionen f und g. Dann müssen folgende Bedingungen erfüllt sein: 1. f(x_0) = g(x_0) 2. f'(x_0) = g'(x_0) 3. Es gibt ein delta > 0 mit entweder f(x) > g(x) oder f(x) < g(x) für alle x aus (x_0 - delta; x_0 + delta) und x <> x_0 Dazu bildet man die Differenzfunktion h(x) = f(x) - g(x) und zeigt, daß diese in x_0 ein lokales Maximum oder Minimum hat.

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