Extremwertaufgabe, Optimierung

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Extremwertaufgabe, Optimierung
Meine Frage:
Ich sitze gerade mit einem Freund an einer Extremwertaufgabe die extrem schwierig ist, wir sitzen jetzt schon eine weile daran und scheitern, daraus folgt das wir Hilfe brauchen.

Gegeben ist eine Boje welche aus einem Kegel und einer aufgesetzter Halbkugel bestehen.


Infos:

Die Mantelhöhe des Zylinders beträgt 50 Einheiten.

Gesucht ist das maximale Volumen der Boje.

Bedanke mich schonmal im Vorraus an jenen der sich daran wagt.

Meine Ideen:
Folgende Ideen sind auf dem Bildanhang verfügbar und könnten falls sie richtig sind zur Lösung führen.


Grüße Amin und Wolfgang
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ihr habt schon mal die richtige Hauptbedingung und die richtige Nebenbedingung aufgeschrieben. Freude

Jetzt müsst ihr nur noch die Nebenbedingung nach auflösen.

Den Ausdruck für dann in die Hauptbedingung einsetzen. Dann habt ihr einen Term, bei der nur noch die Variable h vorkommt.

Diesen Term für das Gesamtvolumen nach h ableiten und diese Ableitung dann 0 setzen.

Zum Schluss diese quadratische Gleichung mittels der p-q-Formel oder Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) lösen.

Dann habt ihr den Wert für h, bei der das Volumen maximal wird.

Grüße.
FelixbrauchtHilfe Auf diesen Beitrag antworten »
Antwort
Wink Danke das du dir sogar noch um diese Uhrzeit Zet genommen hast. Freude
Auf diesen Lösungsweg sind wir auch gekommen und haben nach r umgestellt, da wir ja r^2 einsetzten können und r^3 nicht ist unser Problem das wir nicht wissen wie wir aus einem r^2 ein r^3 machen.
doch wenn man nun das r^2 in die bedingung der halbkugel einsetzen tut
erhält man folgenden ausdruck. verwirrt

Auf Bild sind weitere Lösungsansetze von Amin und Wolfgang.


Danke
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Antwort
... nur mal kurz aushelfen, dann bin ich wieder raus:

Ihr wollt ja das maximale Volumen bestimmen und dazu braucht man die erste Ableitung.
Wenn ihr den Klammerausdruck ableitet, ist es beser, die Klammer nicht vorher aufzulösen.
FelixbrauchtHilfe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Antwort
ALso wird jetzt es in solcher Form ausgeführt ?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Es fehlt noch die innere Ableitung von .

Diese ist ja .

Somit ergibt sich:



Ich habe gleich mal ausgeklammert. Somit muss der Ausdruck in der großen Klammer Null werden.

Jetzt kann man die Gleichung durch teilen. Dann muss man es nicht mehr die ganze Zeit mitschleppen-und die große Klammer ist dann auch nicht mehr nötig.

Da der zweite Summand negativ ist, kann man ihn dann mit einem positiven Vorzeichen auf die rechte Seite der Gleichung bringen.

Bezüglich der endgültigen Lösung der Gleichung, war ich gestern bzw. heute zu optimistisch. Da man dann auf einer Seite im Prinzip einen Wurzelausdruck hat, bietet es sich dann an, beide Seiten zu quadrieren.

Man hat dann eine Gleichung mit und

Dann kann man folgendermaßen substituieren, um dann schließlich doch auf eine quadratische Gleichung zu kommen:



Diese Gleichung kann man dann mit der Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) lösen.
 
 
Felix.braucht.Hilfe Auf diesen Beitrag antworten »
:)
Freude Freude Freude Freude Danke kamen auf die Lösung
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne. Freut mich, dass ihr auf die Lösung gekommen seid. smile
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