Grenzwert einer Folge mit n im Exponenten

27.07.2004, 14:31	Summi	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer Folge mit n im Exponenten Hallo Mathefreak's, in meiner nun schon länger andauernden Prüfungsvorberietung habe ich wieder mal ein Problem. Thema Grenzwerte von Folgen. Eigentlich ist das ja gar nicht so schwierig aber die folgende Aufgabe bringt mich zur Verzweiflung oder ich blick's wieder mal einfach nicht. Aufgabe: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3^n + 2^n} \end{eqnarray}$ Lösungsansatz: Mein Überlegungen sind folgende. 2 hoch irgendwas ist bei unendlich großem n gegenüber 3 hoch irgendwas verschwindend gering so das ich sagen könnte 3^n + 2^n ist rund 3^n davon die n-te Wurzel macht genau wieder 3 was auch richtig ist wie man leicht durch probieren herausbekommt. Ich will das aber irgendwie sauber und mathematisch korrekt auch aufschreiben und zeigen??? Kann mir da jemand weiter helfen??? Besten Dank im voraus MfG Summi
27.07.2004, 14:55	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Klammere unter der Wurzel 3^n aus und ziehe aus dem Produkt gliedweise die Wurzel. Der Radikand kann dann nach unten durch 1 und nach oben durch 5/3 (2 genügt auch) abgeschätzt werden. Dann Einschließungskriterium.
27.07.2004, 15:51	Mathestudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung Grenzwert einer Folge mit n im Exponenten Hi Summi, also wenn ich mir das richtig überlegt habe solltest du den Ansatz machen den dir Leopold vorgeschlagen hat. Ich habe es genauso gelöst und komme auch auf den Grenzwert 3, denn wenn du $\begin{eqnarray} 3^n \end{eqnarray}$ unter der Wurzel ausklammerst dann hast du da stehen: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } (\sqrt[n]{3^n(1+ (\frac{2}{3})^n))} \end{eqnarray}$ Jetzt siehst du das das $\begin{eqnarray} (\frac{2}{3})^{n} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \end{eqnarray}$ x (wobei hier x für den obigen Ausdruck steht) gegen 0 geht. Daraus folgt dann das du nur noch die $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{3^n} \end{eqnarray*}$ zu betrachten hast. Die n heben sich aber jetzt gerade weg und der gesuchte grenzwert bleibt stehen. Ich hoffe du kommst mit der Lösung klar. Mfg. Mathestudent :]
27.07.2004, 16:17	Summi	Auf diesen Beitrag antworten »
Brett vorm Kopf :P schon so oft ausgeklammert aber manchmal sieht man's einfach nicht. Danke Dir MfG Ralph

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