Offene Überdeckung einer Teilmenge des euklidschen Raums IR

21.04.2013, 09:39

hh1234

Offene Überdeckung einer Teilmenge des euklidschen Raums IR

Meine Frage:
Betrachten Sie die Teilmenge M:=[0,1) des Euklidischen topologischen Raums $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Finden Sie eine offene Überdeckung von M, welche keine endliche Teilüberdeckung besitzt.

Meine Ideen:
Ich hab leider schon seit einiger Zeit meist keine Idee wie ich an meine Übungsaufgaben in Analysis rangehen soll. Habe bisher zu wenig Zeit aufgewendet und möchte dass jetzt ändern, und brauche daher etwas Hilfe um die Zeit auch sinnvoll zu nutzen. Entsprechend habe ich aber teilweise enorme Lücken, bspw. im Bereich: Folgen,glm. Konvergenz, Stetigkeit.

Hier also erstmal die Sätze und Defis aus meiner Vorlesung, die wohl notwendig sind:

$\begin{eqnarray*} Sei X top. Raum, A\subset X. Unter einer offenen Überdeckung von A versteht man eine Familie (Ui)i\in I (I Indexmenge) von offenen Mengen Ui\subset X mit A\subset \bigcup i\in I Ui. \end{eqnarray*}$

21.04.2013, 09:42

hh1234

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Sry für den Doppelpost, ohne Registrierung konnte ich den Beitrag logischerweise nicht editieren Big Laugh

, da er aber mein Latex-Kram nicht so recht angenommen hat kommen die Sätze und Defis gleich nochmal...

Ok, es lag an Umlauten... richtig schön siehts immernoch nicht aus aber ich mach die Defis jetzt nochmal nach und nach. Wieso macht der keine Leerzeichen??

Sei X top. Raum $\begin{eqnarray*} , A\subset X. \end{eqnarray*}$ Unter einer offenen Ueberdeckung von A versteht man eine Familie $\begin{eqnarray*} (Ui)i\in I \end{eqnarray*}$ (I Indexmenge) von offenen Mengen $\begin{eqnarray*} Ui\subset X mit A\subset \bigcup Ui , i\in I. \end{eqnarray*}$

X top. Raum, $\begin{eqnarray*} K\subset X \end{eqnarray*}$ . Dann heißt K kompakt falls jede offene Ueberdeckung $\begin{eqnarray*} (Ui)i\in I \end{eqnarray*}$ von K eine endliche Teilueberdeckung besitzt. Dh. $\begin{eqnarray*} \exists i1,...,ik \in I, s.d. K\subset Ui1\cup ...\cup Uik \end{eqnarray*}$

21.04.2013, 09:43

Che Netzer

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RE: Offene Überdeckung einer Teilmenge des euklidschen Raums IR
Könntest du eine Überdeckung finden, wenn das Intervall auch nach unten offen wäre?
Du kannst dir jedenfalls eine Folge von Intervallen $\begin{eqnarray*} (-1,b_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b_n\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ suchen, so dass $\begin{eqnarray*} \bigcup_{n=1}^\infty(-1,b_n)=(-1,1)\supset[0,1) \end{eqnarray*}$ .

Hast du dazu neue Ideen?

21.04.2013, 10:05

hh1234

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Schonmal danke für die Antwort smile

.

Erstmal zum zweiten Teil:

ich müsste also eine Folge (bn) finden, die gegen 1 konvergiert? Das wäre dann z.B. 1+ 1/n . Dann wäre $\begin{eqnarray*} \bigcup (-1,bn)=(-1,1)\subset [0,1)=:M \end{eqnarray*}$ ?

Wenn das Intervall jetzt auch nach unten offen wäre, also (0,1) ... dann wäre die Folge von Intervallen mit (-1,bn) doch immernoch eine Überdeckung?

PS: Wie kann ich bei Vereinigungsmengen etc. Index und Ende "dadrunter/-drüber" bekommen?

Edit:

Nun müsste die gesuchte offene Überdeckung von M noch derart sein, dass sie keine endliche Teilüberdeckung besitzt. Letzterer Begriff wurde bei uns nicht definiert. Ich verstehe darunter, dass es immernoch eine Überdeckung sein soll, die aber nur aus endlich vielen offenen Mengen Ui besteht.

21.04.2013, 10:10

Che Netzer

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Zitat:

Original von hh1234
ich müsste also eine Folge (bn) finden, die gegen 1 konvergiert?

Ja. Aber außerdem so, dass keine endliche Anzahl von Intervallen $\begin{eqnarray*} (-1,b_n) \end{eqnarray*}$ ausreicht, um $\begin{eqnarray*} [0,1) \end{eqnarray*}$ zu überdecken. Insbesondere darf kein $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ größer als Eins sein.

Zitat:

Wenn das Intervall jetzt auch nach unten offen wäre, also (0,1) ... dann wäre die Folge von Intervallen mit (-1,bn) doch immernoch eine Überdeckung?

Ja, ob das Intervall nach unten offen ist oder nicht, ist hier eigentlich egal.
Wäre es aber offen, so könnte man auch $\begin{eqnarray*} (0,b_n) \end{eqnarray*}$ wählen, anstatt zur Minus Eins herunterzugehen.

Zitat:

PS: Wie kann ich bei Vereinigungsmengen etc. Index und Ende "dadrunter/-drüber" bekommen?

Zum Beispiel so: \bigcup_{n=1}^\infty.

21.04.2013, 10:34

hh1234

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Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von hh1234
ich müsste also eine Folge (bn) finden, die gegen 1 konvergiert?

Zitat:

Wenn das Intervall jetzt auch nach unten offen wäre, also (0,1) ... dann wäre die Folge von Intervallen mit (-1,bn) doch immernoch eine Überdeckung?

Zitat:

PS: Wie kann ich bei Vereinigungsmengen etc. Index und Ende "dadrunter/-drüber" bekommen?

Zum Beispiel so: \bigcup_{n=1}^\infty.

Also muss es eine Folge sein, die erst für n gegen unendlich konvergiert, $\begin{eqnarray*} b_{n}:=(1-1/n) \end{eqnarray*}$ würde sich hier anbieten. Das bleibt für alle n zwischen [0,1). Wieso jedoch darf kein bn größer als eins sein? Auf der anderen Seite wäre das Intervall mit (-1, bn) ja auch kleiner als 0 ( -1 < 0 ). Wie hängt es damit zusammen ob es abgeschlossen oder offen ist?

21.04.2013, 10:40

Che Netzer

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Zitat:

Original von hh1234
Also muss es eine Folge sein, die erst für n gegen unendlich konvergiert, $\begin{eqnarray*} b_{n}:=(1-1/n) \end{eqnarray*}$ würde sich hier anbieten.

Zitat:

Wieso jedoch darf kein bn größer als eins sein?

Wenn $\begin{eqnarray*} b_{n_0}\geq1 \end{eqnarray*}$ wäre, so wäre $\begin{eqnarray*} (-1,b_{n_0}) \end{eqnarray*}$ bereits eine (endliche) Überdeckung von $\begin{eqnarray*} [0,1) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Auf der anderen Seite wäre das Intervall mit (-1, bn) ja auch kleiner als 0 ( -1 < 0 ). Wie hängt es damit zusammen ob es abgeschlossen oder offen ist?

Was genau ist hier die Frage?
Wieso ich als untere Grenze $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ gewählt habe, weil das ursprüngliche Intervall nach unten abgeschlossen ist?

21.04.2013, 10:59

hh1234

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Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von hh1234
Also muss es eine Folge sein, die erst für n gegen unendlich konvergiert, $\begin{eqnarray*} b_{n}:=(1-1/n) \end{eqnarray*}$ würde sich hier anbieten.

Zitat:

Wieso jedoch darf kein bn größer als eins sein?

Zitat:

Auf der anderen Seite wäre das Intervall mit (-1, bn) ja auch kleiner als 0 ( -1 < 0 ). Wie hängt es damit zusammen ob es abgeschlossen oder offen ist?

Was genau ist hier die Frage?
Wieso ich als untere Grenze $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ gewählt habe, weil das ursprüngliche Intervall nach unten abgeschlossen ist?

Yippi, war ja sogar ziemlich human die Aufgabe.

Dass bn nicht größer 1 sein darf hab ich jetzt auch verstanden. Gäbe es die Zusatzbedingung mit der endlichen Teilüberdeckung nicht, wäre es dann also kein Problem wenns größer 1 wäre?!

Meine andere Frage hat sich dann auch erübrigt.
Ich könnte als Folge von Intervallen also auch (-55, bn) wählen, oder jede andere beliebe Reelle Zahl x<0, da es in diesem Fall nur vom bn abhängt ob es eine endliche Teilüberdeckung gibt?!
Könnte ich die Intervallfolge auch so wählen (an,1) mit einem an, dass für n gegen unendlich gegen 0 konvergiert? Das ginge doch nur wenn meine zu betrachtene Teilmenge so aussehen würde M:=(0,1), also auch nach unten auch offen.

21.04.2013, 11:06

Che Netzer

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Zitat:

Original von hh1234
Dass bn nicht größer 1 sein darf hab ich jetzt auch verstanden. Gäbe es die Zusatzbedingung mit der endlichen Teilüberdeckung nicht, wäre es dann also kein Problem wenns größer 1 wäre?!

Genau.

Zitat:

Ich könnte als Folge von Intervallen also auch (-55, bn) wählen, oder jede andere beliebe Reelle Zahl x<0, da es in diesem Fall nur vom bn abhängt ob es eine endliche Teilüberdeckung gibt?!

Stimmt auch.

Zitat:

Könnte ich die Intervallfolge auch so wählen (an,1)

Nein, das ginge nicht, denn um damit $\begin{eqnarray*} [0,1) \end{eqnarray*}$ zu überdecken, müsste mindestens ein $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ negativ werden, wodurch es wieder eine endliche Überdeckung gäbe.
Aber ja, wenn wir $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ betrachten würden, ginge das (falls $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ von oben gegen Null geht).

21.04.2013, 11:11

hh1234

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Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Genau.

Zitat:

Ich könnte als Folge von Intervallen also auch (-55, bn) wählen, oder jede andere beliebe Reelle Zahl x<0, da es in diesem Fall nur vom bn abhängt ob es eine endliche Teilüberdeckung gibt?!

Stimmt auch.

Zitat:

Könnte ich die Intervallfolge auch so wählen (an,1)

Super, vielen Danke für die Hilfe smile

.

Werde in Zukunft öfters das Forum beackern und kann dann vielleicht irgendwann auch mal schlaue Tipps geben.

Bis Dann Wink

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