Winkel zwischen Vektoren berechnen

21.04.2013, 13:21

Tipso

Winkel zwischen Vektoren berechnen

Hallo,

Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe.

Zitat:

Berechnen sie im räumlichen Dreieck ABC die Seitenlängen und Winkel.

A(1|0|-1)
B(4|0|-5)
C(5|-3|2)

Ich erhalte nun aber falsche Ergebnisse.

$\begin{eqnarray*} \vec AB = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec BC = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec AC = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hier ist aber die Richtung. von AB und AC etwas falsch, macht dies etwas bei der Berechnung?

lg

21.04.2013, 13:34

Jayk

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"etwas falsch". Entweder sie ist falsch oder richtig. Die Vektoren stimmen jedenfalls. Wie du sicherlich weißt, gilt $\begin{eqnarray*} \vec a \cdot (- \vec b ) = - (\vec a \cdot \vec b) \end{eqnarray*}$ . Du bekommst halt für den Winkel dann nicht $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} 180^\circ - \alpha \end{eqnarray*}$ heraus, wenn du von einem Vektor das Negative einsetzt, weil $\begin{eqnarray*} \cos (180^\circ - \alpha ) = - \cos \alpha \end{eqnarray*}$ . Deine Ergebnisse dürften dann also auch nur "etwas falsch" sein.

Skizziere doch mal deinen Rechenweg.

21.04.2013, 13:53

Tipso

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Ungenau trifft es in diesem Fall wohl besser.

Allgemeine Notation:
$\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{\vec r_a * \vec r_b}{| r_a | *| r_b | } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha = 90° \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \beta = 130,6° \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \gamma = 40,61° \end{eqnarray*}$

Finde hier meinen Fehler nicht.

21.04.2013, 14:10

Tipso

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Verstehe nicht ganz warum ich einen um 180° verdrehten W erhalte?

$\begin{eqnarray*} \cos (180^\circ - \alpha ) = - \cos \alpha \end{eqnarray*}$ .

lg

21.04.2013, 16:17

Dopap

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Zitat:

Original von Tipso
$\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{\vec r_a * \vec r_b}{| r_a | *| r_b | } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos (\alpha) = \frac{\vec r_a * \vec r_b}{| r_a | *| r_b | } \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \alpha = 90° \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \beta = 130,6° \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \gamma = 40,61° \end{eqnarray*}$

Finde hier meinen Fehler nicht.

Schau die man die Winkelsumme an ! verwirrt

Zwischen 2 Vektoren gibt es immer 2 Winkel die sich zu 180° ergänzen. Welcher nun gemeint ist , muss anhand der Aufgabe entscheiden werden.
Beim Winkel zwischen 2 Ebenen sagten wir: wir nehmen den kleineren Winkel, was eine Konvention ist.

Im Dreieck musst du selbst nach dem Rechten sehen.
--------------------------------------------------------------------------------
Zeichne mal 2 Vektoren in V - Form, mit ca 30°

Wenn du jetzt von einem das Negative nimmst, kriegst du ein "V" mit 150°

21.04.2013, 16:52

Tipso

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Einzeichnen von V-Vektoren habe ich jetzt nicht ganz verstanden aber habe meinen Fehler gefunden.

$\begin{eqnarray*} \beta = 130,6° \end{eqnarray*}$

hier brauche ich den kleineren Winkel, dann erhalte ich die Winkelsumme von 180°. Freude

21.04.2013, 20:46

Dopap

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richtig, wenn du die Innenwinkel im Dreieck berechnen willst, dann müssen die Vektoren in den Eckpunkten vom Eckpunkt "wegzeigen".

Also: bei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ verwendest du $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{ AB} , \overrightarrow {AC} \end{eqnarray*}$

bei $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ verwendest du $\begin{eqnarray*} \overrightarrow {BA} , \overrightarrow {BC} \end{eqnarray*}$

bei $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ verwendest du $\begin{eqnarray*} \overrightarrow {CA} , \overrightarrow {CB} \end{eqnarray*}$

dann stimmt es automatisch sofort.

21.04.2013, 21:37

Tipso

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Warum?

Ich kann es mir überhaupt nicht erklären, warum dies so einen Unterschied macht.
Die Beträge sind ja immer gleich, egal in welche Richtung der Vec. zeigt und mit dem Phythgoras würden wir ja auch die richtigen Ergebnisse erhalten.

lg

21.04.2013, 22:12

Dopap

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ist dir aufgefallen, dass wir hier 6 Vektoren haben, es gibt aber nur 3 Strecken.

Ergo werden hier auch jede Menge Gegenvektoren verwendet.

Die Beträge sind zwar paarweise gleich, nicht aber das Skalarprodukt.

21.04.2013, 22:26

Tipso

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3 Strecken a 2 mögliche Richtungen = 6. smile

21.04.2013, 22:38

Dopap

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richtig, wenn du den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ direkt wissen willst, dann brauchst du

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \end{eqnarray*}$

wenn du nun $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ direkt wissen willst, dann darfst du nicht

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC} \end{eqnarray*}$

verwenden. Die Formel ermittelt dann den Ergänzungswinkel zu 180°

sondern:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC} \end{eqnarray*}$ ist zu verwenden.

21.04.2013, 22:41

Tipso

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Geometrisch auch verständlich warum ich ansonsten 180° - W berechne.

21.04.2013, 22:47

Dopap

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schön wenn es jetzt klar ist ! puh!

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