Basis und Komponenten

21.04.2013, 13:35

Kaliumnitrat

Basis und Komponenten

Meine Frage:
Hallo,

Gegeben seien hier 2 Basen $\begin{eqnarray*} A=\left\{{\vec{a}_{1} },{\vec{a}_{2} },{\vec{a}_{3} }\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=\left\{{\vec{b}_{1} },{\vec{b}_{2} },{\vec{b}_{3} }\right\} \end{eqnarray*}$ eines 3-dimensionalen Vektorraums mit den Beziehungen

$\begin{eqnarray*} \vec{b}_{1}=2\vec{a}_{1}+\vec{a}_{2}-\vec{a}_{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{b}_{2}=\vec{a}_{1}+\vec{a}_{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{b}_{3}=-\vec{a}_{1}+\vec{a}_{2} \end{eqnarray*}$

a) Geben Sie die Komponenten der Basisvektoren bezüglich Basis A an.

b) Ein Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ besitzt betüglich der 2 Basen die beiden Koordinatendarstellungen

$\begin{eqnarray*} \vec{u}=\alpha _{1}\vec{a}_{1}+ \alpha _{2}\vec{a}_{2}+ \alpha _{3}\vec{a}_{3} \vec{u}=\beta _{1}\vec{b}_{1}+\beta _{2}\vec{b}_{2}+ \beta _{3}\vec{b}_{3} \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ in der Basis B gegeben. Finden Sie die Komponenten von $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ in der Basis A, d.h. drücken Sie $\begin{eqnarray*} \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3} \end{eqnarray*}$ mit Hilfe von $\begin{eqnarray*} \beta _{1},\beta _{2},\beta _{3} \end{eqnarray*}$ aus.

Meine Ideen:
Zu a):

Die Komponenten der Basisvekoren von B sind: $\begin{eqnarray*} v_{B}=\begin{pmatrix} 2\vec{a}_{1}+\vec{a}_{2}-\vec{a}_{3} \\ \vec{a}_{1}+\vec{a}_{3} \\ -\vec{a}_{1}+\vec{a}_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie ich das für A machen soll weiß ich nicht genau....

Und für die b) fehlt mir en Ansatz. Könntete ihr mir Tipps geben, wie ich mit der Aufgabe anfangen könnte?

21.04.2013, 14:09

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RE: Basis und Komponenten
Hat u bzgl der Basis A die Koordinatendarstellung $\begin{eqnarray*} \vec{u}=\alpha _{1}\vec{a}_{1}+ \alpha _{2}\vec{a}_{2}+ \alpha _{3}\vec{a}_{3} \end{eqnarray*}$ dann sind $\begin{eqnarray*} \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3} \end{eqnarray*}$ die Komponenten von u bzgl. A.

In Teil a) musst du das jetzt auf $\begin{eqnarray*} u\in\{\vec{b}_{1},{\vec{b}_{2} },\vec{b}_{3}\} \end{eqnarray*}$ anwenden.

Bei b) ersetzt du in $\begin{eqnarray*} \vec{u}=\beta _{1}\vec{b}_{1}+\beta _{2}\vec{b}_{2}+ \beta _{3}\vec{b}_{3} \end{eqnarray*}$

die $\begin{eqnarray*} \vec{b}_i \end{eqnarray*}$ durch die entsprechende kombination der $\begin{eqnarray*} \vec{a}_i \end{eqnarray*}$ und fasst dann zusammen, bis ein Ausdruck der Form
$\begin{eqnarray*} \vec{u}=\alpha _{1}\vec{a}_{1}+ \alpha _{2}\vec{a}_{2}+ \alpha _{3}\vec{a}_{3} \end{eqnarray*}$
entsteht.

21.04.2013, 16:12

Kaliumnitrat

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Also gut, ich hoffe, dass es jetzt einigermaßen stimmt.

Zu a)

$\begin{eqnarray*} v_{B}=\begin{pmatrix} 2\alpha _{1}+\alpha _{2}-\alpha _{3} \\ \alpha _{1}-\alpha _{3} \\ -\alpha _{1}+\alpha _{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_{A}=\begin{pmatrix} \alpha _{1} \\ \alpha _2 \\ \alpha _3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In meinem ersten Post hatte ich als Komponenten Vektoren, diese habe ich durch alpha ersetzt.

Zu b)

Ich habe in die Koordinatendaarstellung u die Komponenten von der Teilaufgabe a) eingesetzt. War das damit gemeint?

$\begin{eqnarray*} \vec{u}= \left(2\alpha _{1}+\alpha _{2}-\alpha _{3}\right)\vec{a}_1 +\left(\alpha _{1}-\alpha _{3}\right) \vec{a}_2+\left( -\alpha _{1}+\alpha _{2}\right) \vec{a}_3 \end{eqnarray*}$

21.04.2013, 18:34

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nein, leider nicht.
zu a) Für
$\begin{eqnarray*} \vec{u}=\alpha _{1}\vec{a}_{1}+ \alpha _{2}\vec{a}_{2}+ \alpha _{3}\vec{a}_{3} \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3} \end{eqnarray*}$ die Komponenten. Jetzt hast du z.B.
$\begin{eqnarray*} \vec{b}_{1}=2\vec{a}_{1}+\vec{a}_{2}-\vec{a}_{3} \end{eqnarray*}$ . Was sind also die Komponenten von $\begin{eqnarray*} \vec{b}_{1} \end{eqnarray*}$ ?

zu b) gemeint war, in der Gleichung $\begin{eqnarray*} \vec{u}=\beta _{1}\vec{b}_{1}+\beta _{2}\vec{b}_{2}+ \beta _{3}\vec{b}_{3} \end{eqnarray*}$ die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{b}_i \end{eqnarray*}$ durch die entsprechende kombination der $\begin{eqnarray*} \vec{a}_j \end{eqnarray*}$ zu ersetzen.

Man kann für Teil b) auch Teil a) nutzen, aber so erscheint es mir einfacher.

21.04.2013, 23:29

Kaliumnitrat

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Zuerst einmal, stimmen meine Komponenten jetzt?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \vec{b}_{1}=2\vec{a}_{1}+\vec{a}_{2}-\vec{a}_{3} \end{eqnarray*}$ . Was sind also die Komponenten von $\begin{eqnarray*} \vec{b}_{1} \end{eqnarray*}$ ?

Hmm ok, dann müssten das doch die Komponenten sein:

$\begin{eqnarray*} v_b1=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} v_b2=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} vb3=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das hier müsste dann so sein:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} v_{A}=\begin{pmatrix} \alpha _{1} \\ \alpha _2 \\ \alpha _3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

22.04.2013, 10:27

Kaliumnitrat

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Stimmt dieser Teil so? smile

22.04.2013, 10:39

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kaliumnitrat
$\begin{eqnarray*} vb3=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Müßte das nicht $\begin{eqnarray*} vb3=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein?

Zitat:

Original von Kaliumnitrat
Das hier müsste dann so sein:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} v_{A}=\begin{pmatrix} \alpha _{1} \\ \alpha _2 \\ \alpha _3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die alpha_i sollen mittels der Komponenten beta_i ausgedrückt werden.

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