Grenzfunktion einer Potenzreihe

22.02.2007, 15:12

Shawnstein

Grenzfunktion einer Potenzreihe

Huhu,

kann mir bitte jemand erklären wie man eine Grenzfunktion der gegebenen Potenzreihe auf M berechnet?

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0} (-1)^n * \frac {4^n} {3} * x^n \end{eqnarray*}$

Konvergenzmenge habsch schon berechnet M [ $\begin{eqnarray*} \frac {1} {4} \end{eqnarray*}$ , - $\begin{eqnarray*} \frac {1} {4} \end{eqnarray*}$ )

Danke schon mal im vorraus

P.S.: Die Summe geht von n=0 bis unendlich... Kenn den Latex Code nicht für das Zeichen sorry

22.02.2007, 15:24

Leopold

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Der Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ kann vor die Summe gezogen werden. Beachte ferner:

$\begin{eqnarray*} (-1)^n \, 4^n \, x^n = (-4x)^n = t^n \ \ \text{mit} \ \ t = -4x \end{eqnarray*}$

Macht's klick?

22.02.2007, 15:29

Shawnstein

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Huhu,

mh jo sieht logisch aus...

ist also allgemein $\begin{eqnarray*} t^n = (.......)^n \end{eqnarray*}$ die Grenzfunktion?

Heißt also ich muss jeweils an so umformen das ich auf den Standart $\begin{eqnarray*} (....)^n \end{eqnarray*}$ komme und was in Klammern steht ist dann meine Grenzfunktion?

22.02.2007, 15:31

Leopold

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Na ja, das Summenzeichen wollen wir nicht gänzlich ignorieren ... verwirrt

22.02.2007, 15:38

Shawnstein

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:p jo schon klar!

also ich die gesuchte Grenzfunktion $\begin{eqnarray*} f(x) = -4x \end{eqnarray*}$

und im folgenden Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0} \frac {x^n} {2^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac {1} {2} x \end{eqnarray*}$ ?

22.02.2007, 15:51

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Zitat:

Original von Shawnstein
:p jo schon klar!

also ich die gesuchte Grenzfunktion $\begin{eqnarray*} f(x) = -4x \end{eqnarray*}$

Nein, es ist offenbar noch nicht klar, denn das ist falsch. unglücklich

Zwischenschritt: Wie groß ist denn $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} ~ t^n \end{eqnarray*}$ für reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |t|<1 \end{eqnarray*}$ ?

22.02.2007, 23:20

Shawnstein

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ähm ja sorry das ich erst jetzt antworte...

na das müsste doch $\begin{eqnarray*} \frac {1} {1-t} \end{eqnarray*}$ sein

23.02.2007, 08:02

klarsoweit

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OK. Und jetzt noch für t das passende einsetzen.

23.02.2007, 08:04

Shawnstein

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$\begin{eqnarray*} \frac {1} {1+4x} \end{eqnarray*}$ ?

23.02.2007, 08:10

klarsoweit

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23.02.2007, 08:17

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Fehlt jetzt nur noch der Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ von oben. Augenzwinkern

EDIT: Ach eins noch. Der Konvergenzbereich ist nicht $\begin{eqnarray*} \left[ \frac {1}{4}, -\frac{1}{4}\right) \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \left( -\frac {1}{4}, \frac{1}{4}\right) \end{eqnarray*}$ .

23.02.2007, 08:23

Shawnstein

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Mh okay danke! Nur nochmal zum Verständnis bzw der Vorgehensweise....

Die Folge der Potenzreihe auf den jeweiligen Standart z.B.: $\begin{eqnarray*} t^n \end{eqnarray*}$ usw bringen...

Danach die Partialsumme umformen und die Variable t mit dem oberen umgeformten ersetzen?

Zum Verständnis nochmal folgende Potenzreihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1} \frac {(-2)^n * n} { n^2 + 1} * x^n \end{eqnarray*}$

M= ( - $\begin{eqnarray*} \frac {1} {2} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \frac {1} {2} \end{eqnarray*}$ ]

Potenzfunktion:

1. umformen: mh wie formt man das nun sinnvoll um?

irgendwie fehlt mir hier der allgemeine Algorithmus =(... kann mir jemand vielleicht schrittweise notieren wie ich bei einer solchen Aufgabe genau vorgehe?

23.02.2007, 08:24

Shawnstein

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Fehlt jetzt nur noch der Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ von oben. Augenzwinkern

oh danke rechne ich nachher nochmal genau nach....

muss jetzt erstmal zum Zahnarzt... =(

23.02.2007, 08:27

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Zitat:

Original von Shawnstein
muss jetzt erstmal zum Zahnarzt... =(

Na dann viel Spaß.

Gruß,
Arthur (der vorige Woche ein weiteres Viertel seiner Weisheit verloren hat)

23.02.2007, 09:27

Shawnstein

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So nochmal nachgerechnet...

jo stimmt, danke für den Hinweis...

Gibts ne Hilfe bezüglich der Grenzfunktion der 2. Aufgabe? Also mir gehts eigentlich nur um ne Art Algorithmus...

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