Monotonie Poisson-Verteilung

21.04.2013, 13:42	sbgstud	Auf diesen Beitrag antworten »
Monotonie Poisson-Verteilung Hallo zusammen mir gehts um die Maximalstellen der Poisson-Verteilung. Ich hab zwar schon an was gearbeitet aber irgendwie trau ich dem ganzen nicht ... vielleicht könnt ihr euch mal ansehen was ich mir überlegt habe und mir ggf. korrigieren Die Wahrscheinlichkeiten der Poisson-Verteilung sind ja gegeben durch: $\begin{eqnarray} <br /> P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^k}{k!} := p_k<br /> \end{eqnarray}$ jetzt betrachte ich für $\begin{eqnarray} 1\leq k \leq n \; , \;\; k \in \mathbb N \end{eqnarray}$ folgendes: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{p_k}{p_{k-1}} &=& \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^{k} \cdot (k-1)!} {k! \cdot e^{- \lambda} \cdot \lambda^{k-1}}<br /> \\&=& \frac{\lambda}{k}<br /> \end{eqnarray}$ jetzt betrachte ich : $\begin{eqnarray} <br /> k^\ast := \lfloor \frac{\lambda}{k} \rfloor<br /> \end{eqnarray}$ und mache eine Fallunterscheidung: 1. Fall: $\begin{eqnarray} <br /> k^\ast \notin \mathbb N<br /> \end{eqnarray}$ Dann ist das ganze steigend auf $\begin{eqnarray} [0, k^\ast) \cap \mathbb Z \end{eqnarray}$ und das ganze ist fallend auf $\begin{eqnarray} (k^\ast, n] \cap \mathbb Z \end{eqnarray}$ Es gibt also ein eindeutiges Maximum bei $\begin{eqnarray} k^\ast \end{eqnarray}$ 2.Fall: $\begin{eqnarray} <br /> k^\ast \in \mathbb N \end{eqnarray}$ Dann ist das ganze steigend auf $\begin{eqnarray} [0, \frac{\lambda}{k-1}] \cap \mathbb Z \end{eqnarray}$ und das ganze ist fallend auf $\begin{eqnarray} [\frac{\lambda}{k+1}, n] \cap \mathbb Z \end{eqnarray}$ Es gibt also zwei Maxima bei $\begin{eqnarray} \frac{\lambda}{k+1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{\lambda}{k-1} \end{eqnarray}$

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