Nullstellen einer (biquadratischen?) Funktionsschar bestimmen

21.04.2013, 16:30	Yannic	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen einer (biquadratischen?) Funktionsschar bestimmen Meine Frage: Hallo, ich bin in der 10. Klasse auf dem Gymnasium und wir müssen als Hausaufgabe die Nullstellen der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=kx^4-2kx^2+k+1 \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von k bestimmen. Das Ergebnis ist $\begin{eqnarray} k\geq 0 \end{eqnarray}$ : 0 Nullstellen; $\begin{eqnarray} k<0 \end{eqnarray}$ : 1 Nullstelle. Meine Ideen:* Natürlich habe ich die Funktion erst einmal $\begin{eqnarray} f(x)=0 \end{eqnarray}$ gesetzt. Dann dachte ich man könnte nun einfach substituieren, also $\begin{eqnarray} kz^2-2kz+k+1=0 \end{eqnarray}$ und dann durch $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ mit der Bedingung $\begin{eqnarray} k\neq 0 \end{eqnarray}$ teilen. Das ergibt dann ja $\begin{eqnarray} z^2-2z+1+\frac{1}{k}=0 \end{eqnarray}$ . Wie muss ich also mit dem Faktor $\begin{eqnarray} \frac{1}{k} \end{eqnarray}$ verfahren bzw. ist das überhaupt der richtige Ansatz? Ich hatte auch noch versucht, $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ auszuklammern aber auch das hat mir nicht geholfen. Über Lösungen oder Ansätze zur Lösung wäre ich sehr dankbar. Liebe Grüße, Yannic
21.04.2013, 16:40	conlegens	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstellen einer (biquadratischen?) Funktionsschar bestimmen 1+(1/k) entspricht dem q in der pq-Formel.Setze also entsprechend ein.
21.04.2013, 16:40	schultz	Auf diesen Beitrag antworten »
dein ansatz ist soweit völlig richtig, jetzt pq-formel anwenden und nullstellen in abhängigkeit von k bestimmen. Der "Faktor" 1/k ist in deinem Fall jetzt ein Summand und kann ganz normal als Konstante behandelt werden
21.04.2013, 17:03	Yannic	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für eure Antworten. Ich habe jetzt also die pq-Formel angewendet, und habe erhalten: $\begin{eqnarray} z1/2=1\pm \sqrt{1-(1+\frac{1}{k}) } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z1/2=1\pm \sqrt{1-1-\frac{1}{k} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z1/2=1\pm \sqrt{-\frac{1}{k} } \end{eqnarray}$ Setze ich nun für $\begin{eqnarray} k\geq 0 \end{eqnarray}$ , so erhalte ich jedes mal einen negativen Radikant unter der Wurzel, was ja bestätigt, dass es für $\begin{eqnarray} k\geq 0 \end{eqnarray}$ keine Nullstelle gibt. Setze ich jedoch für $\begin{eqnarray} k<0 \end{eqnarray}$ Werte ein, so erhalte ich einen positiven Radikant unter der Wurzel. Das bedeutet doch, dass das vorgegebene Ergebnis, dass es nämlich für $\begin{eqnarray} k<0 \end{eqnarray}$ 1 Nullstelle gibt, nicht stimmt, oder? Bspw setze ich für $\begin{eqnarray} k=-2 \end{eqnarray}$ , erhalte ich als Radikant $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ , davon die Wurzel ist ungefähr 0,707. Ich hätte doch also zwei Nullstellen: N1(1,707\|0) und N2(-0,707\|0)? Liebe Grüße, Yannic
21.04.2013, 17:23	schultz	Auf diesen Beitrag antworten »
da ist das vorgegebene ergebniss wohl falsch^^ für k<-1 gibt es sogar 4 nullstellen

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