Volumensintegral berechnen

21.04.2013, 17:02

Tipso

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Volumensintegral berechnen

Hallo,

Zitat:

Berechnen Sie das Volumen eines Gefäßes, das bei Rotation der Kurve $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x}}{2} \end{eqnarray*}$ um die x-Achseentsteht ( $\begin{eqnarray*} 0\leq x\geq 8 \end{eqnarray*}$ Einheit in cm ).b) Skizzieren Sie den entstehenden Körper. Geben Sie in der Skizze auch die relevanten Maße des Körpers an.c) Wie hoch stehen 10 ml im Gefäß?

Vorgehen:

a.
Skizze - Wertetabelle
b.
Meine Grenzen gehen von 0 bis 8.

Meine Volumensformel = $\begin{eqnarray*} \pi \int_a^b \! f(x)^2 \, dx \end{eqnarray*}$

Was mache ich mit 10 ml verwirrt

verwirrt

21.04.2013, 17:42

Dopap

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berechne zuerst allgemein das Volumen zur oberen Grenze:

$\begin{eqnarray*} V(b)= \pi \int_0^b\, f(x)^2 \, \dd x \end{eqnarray*}$
dann

1.) V(8)= gesuchtes Volumen.

2.) löse V(h)=10

21.04.2013, 17:51

Tipso

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Hi,

Jetzt habe ich es glaube ich verstanden.
a.

Warum V(b) verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} V(8ml)= \pi \int_0^8\, f(x)^2 \, \dd x \end{eqnarray*}$

Diese Notation ist auch richtig?
$\begin{eqnarray*} V(8ml)= \pi \int_0^8\, x^2 \, \dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(8ml)= \pi \int_0^8\, f(x)^2 \, \dd x = \pi * \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{8} = \frac{8^3}{3}-\frac{0^3}{3} = 170,667 \end{eqnarray*}$

b.
$\begin{eqnarray*} V(10ml)= \pi \int_0^{10}\, f(x)^2 \, \dd x \end{eqnarray*}$

21.04.2013, 18:24

Dopap

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nee, leider nichts verstanden.

gut , dann berechne erst mal das Volumen:

$\begin{eqnarray*} V= \pi \int_0^8\, f(x)^2 \, \dd x \end{eqnarray*}$ aus.

Vorsicht: was ist das Quadrat von $\begin{eqnarray*} \frac {\sqrt x}{2} \end{eqnarray*}$ ?

21.04.2013, 18:50

Tipso

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Upps

$\begin{eqnarray*} V= \pi \int_0^8\, f(x)^2 \, \dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left({\sqrt x}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac {\sqrt x}{2^2} \end{eqnarray*}$ rotation und hat mit dem Volumen einen Zusammenhang. verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} V= \pi \int_0^8\, f(x)^2 \, \dd x \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} V= \pi \int_0^8\, \left(\frac {\sqrt x}{2}\right)^2 \, \dd x \end{eqnarray*}$

Ich darf hier einfach schon quadrieren, bevor ich integriere.

= $\begin{eqnarray*} V= \pi \int_0^8\, \frac {\sqrt x}{2^2} \, \dd x \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left[\frac{1}{2} x+c\right]_{0}^{8} \end{eqnarray*}$

21.04.2013, 18:53

Dopap

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bei dir ist nirgends zu lesen, was $\begin{eqnarray*} f(x)^2 \end{eqnarray*}$ ausgeschrieben ist.

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21.04.2013, 19:00

Tipso

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hier

$\begin{eqnarray*} V= \pi \int_0^8\, \left(\frac {\sqrt x}{2}\right)^2 \, \dd x \end{eqnarray*}$

und hier

= $\begin{eqnarray*} V= \pi \int_0^8\, \frac {\sqrt x}{2^2} \, \dd x \end{eqnarray*}$

lg

21.04.2013, 19:13

Dopap

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Letzteres ist falsch. Was ist das Quadrat von $\begin{eqnarray*} \sqrt x \end{eqnarray*}$ ???

und $\begin{eqnarray*} 2^2=4 \end{eqnarray*}$

21.04.2013, 19:20

Tipso

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stimmt natürlich.

$\begin{eqnarray*} V(8ml)= \pi \int_0^8\, f(x)^2 \, \dd x = \pi \int_0^8\, \left(\frac {\sqrt x}{2}\right)^2 \, \dd x =\pi \int_0^8 \! \frac{x}{4} \, dx = \pi * \left[\frac{x}{4}\right]_{0}^{8} = 2 \end{eqnarray*}$

21.04.2013, 19:44

Dopap

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Zitat:

Original von Tipso

$\begin{eqnarray*} V(8ml)= \pi \int_0^8\, f(x)^2 \, \dd x = \pi \int_0^8\, \left(\frac {\sqrt x}{2}\right)^2 \, \dd x =\pi \int_0^8 \! \frac{x}{4} \, dx = \pi * \left[\frac{x}{4}\right]_{0}^{8} = 2 \end{eqnarray*}$

1.) bitte V= nicht V(8)=

2.) wo bleibt die Stammfunktion ? wo bleibt das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ? und 2ml ist doch nur ein zehntel Schnapsglas verwirrt

verwirrt

21.04.2013, 19:50

Tipso

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1.
Es hieß doch auch V(b) also warum nicht V(8)

$\begin{eqnarray*} V(8ml)= \pi \int_0^8\, f(x)^2 \, \dd x = \pi \int_0^8\, \left(\frac {\sqrt x}{2}\right)^2 \, \dd x =\pi \int_0^8 \! \frac{x}{4} \, dx = \pi * \left[\frac{x}{4}\right]_{0}^{8} = 2 \end{eqnarray*}$

2.) wo bleibt die Stammfunktion ?
verwirrt

verwirrt

wo bleibt das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ? und 2ml ist doch nur ein zehntel Schnapsglas ?

wurde vergessen:

$\begin{eqnarray*} V(8ml)= \pi \int_0^8\, f(x)^2 \, \dd x = \pi \int_0^8\, \left(\frac {\sqrt x}{2}\right)^2 \, \dd x =\pi \int_0^8 \! \frac{x}{4} \, dx = \pi * \left[\frac{x}{4}\right]_{0}^{8} = 2* \pi= 6,28 \end{eqnarray*}$

21.04.2013, 20:09

Dopap

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also tipso, du musst auch das tun was ich sage.
Anscheinend war mein erster Vorschlag unverständlich und habe deshalb zurückgerudert:

"Berechne zuerst das Volumen.."

dann berechne doch auch bitte das Volumen.

und: 6.3 ml ist immer noch erst ein Drittel Schnapsglas.

Wo bleibt die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac x4 \end{eqnarray*}$ ???

anscheinend nicht dein Tag...

21.04.2013, 20:40

Tipso

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Ich versuche es nochmal.

$\begin{eqnarray*} V(8ml)= \pi \int_0^8\, f(x)^2 \, \dd x = \pi \int_0^8\, \left(\frac {\sqrt x}{2}\right)^2 \, \dd x =\pi \int_0^8 \! \frac{x^2}{4*2} \, dx = \pi * \left[\frac{x}{4}\right]_{0}^{8} = 25,13 ml \end{eqnarray*}$

21.04.2013, 20:59

Dopap

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jetzt bildest du die Stammfunktion im Integral, und danach ist es wieder die alte funktion böse

böse

ich dachte an:

$\begin{eqnarray*} V=\pi \int_0^8 (\frac {\sqrt x}{2})^2 \dd x =\pi \int_0^8 \frac {x}{4} \dd x =\pi [\frac {x^2}{8}]_0^8 \end{eqnarray*}$

Und wenn ich nochmal V(8ml) sehe, dann raste ich aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.04.2013, 21:12

Tipso

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Tut mir leid, echt nicht mein Tag. verwirrt

verwirrt

Das Ergebnis stimmt aber.

$\begin{eqnarray*} V= \pi \int_0^8\, f(x)^2 \, \dd x = \pi \int_0^8\, \left(\frac {\sqrt x}{2}\right)^2 \, \dd x =\pi \int_0^8 \! \frac{x^2}{4*2} \, dx = \pi * \left[\frac{x^2}{8}\right]_{0}^{8} = 25,13 ml \end{eqnarray*}$

Unterschied von V(b) und V ist noch offen.

Wenn 10 ml gesucht ist (b).

$\begin{eqnarray*} V= \pi \int_0^{10}\, f(x)^2 \, \dd x = \pi \int_0^{10}\, \left(\frac {\sqrt x}{2}\right)^2 \, \dd x =\pi \int_0^{10} \! \frac{x^2}{4*2} \, dx = \pi * \left[\frac{x^2}{8}\right]_{0}^{10} = 39,27 ml \end{eqnarray*}$

21.04.2013, 21:59

Dopap

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o.k. zumindest ist jetzt mal das gesuchte Volumen klar !
und jetzt

Aufgabe 2:

bei welcher Höhe ist der Inhalt = 10 ?

Dazu muss ich die obere Integralgrenze = Höhe variabel halten.

$\begin{eqnarray*} \pi \left[\frac {x^2}{8} \right ]_0^h=10 \end{eqnarray*}$

21.04.2013, 22:09

Tipso

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Achso,

richtig schwierig wäre es geworden, wenn die eine Grenze nicht bei 0 wäre. verwirrt

verwirrt

Ich weiß die genaue Notation nicht aber so ungefähr musste es aussehen.

$\begin{eqnarray*} V=\pi frac {x^2}{8}= 10 m \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{10*8} = 8,94 \end{eqnarray*}$

lg

21.04.2013, 22:17

Dopap

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ich bitte um ordentliche posts!

Es gibt die Vorschau -funktion.

Noch ein Tipp: hektisches Rechnen bringt dich nicht vorwärts. Lieber eine Aufgabe in Ruhe durchgerechnet als 3 Aufgaben halbherzig...

21.04.2013, 22:24

Tipso

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Freude

$\begin{eqnarray*} V=\pi \frac{x^2}{8} = 10 m \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{\sqrt{10*8}}{\sqrt{\pi}} = 5,04 \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{\frac{10*8}{\pi}} = 5,04 \end{eqnarray*}$

21.04.2013, 22:45

Dopap

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$\begin{eqnarray*} V=\pi \frac{x^2}{8} = 10 m \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{\sqrt{10*8}}{\sqrt{\pi}} = 5,04 \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{\frac{10*8}{\pi}} = 5,04 \end{eqnarray*}$

wenn ich pingeling wäre, dann müsste statt x ein h stehen, da es die obere Grenze war...

und das 10m vergessen wir mal stillschweigend.

21.04.2013, 22:50

Tipso

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Freude

ml natürlich unglücklich

unglücklich

21.04.2013, 23:00

Dopap

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mal was Grundsätzliches:

in Mathe werden die Einheiten vorher passend festgelegt. Hier zum Beispiel

ml im Volumen und cm in der Entfernung.

diese Einheiten sind köhärent.

Demnach besteht kein Anlass mehr, Einheiten wie in der Physik mitzuschleppen.

Ausserdem stellen Integrale mit Einheiten eine unnötige Komplikation dar.

Und wer will das schon ?

21.04.2013, 23:06

Tipso

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Freude

Mich irritiert bei Einheiten nur, dass manchmal eine Einheit zum Quadrat oder ^3 kubik wird.

lg

21.04.2013, 23:18

Dopap

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versteh ich nicht.

wenn 1cm im Quadrat genommen wird, dann gibt es 1 cm^2

wenn 1km im Quadrat genommen wird, dann gibt es 1km^2

wenn 1m im Kubus genommen wird, dann gibt es 1m^3

Das vorige Integral liefert kein hoch 3, also cm^3,

sonden nur etwas quadratisches der Höhe. Das ist eigentlich ein Widerspruch !

Nun, das liegt daran, dass eigentlich $\begin{eqnarray*} \dd x \end{eqnarray*}$ eine Länge in cm haben müsste, was aber nicht berücksichtig wird.

Deshalb der Rat: Integrale dimensionslos berechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.04.2013, 23:32

Tipso

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Freude

auch bei der Notation nicht angeben und erst am Ergebnis hinzufügen. Freude

Freude

21.04.2013, 23:43

Dopap

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ja, so wird das in den Aufgaben erwartet.

Du solltest auf jeden Fall

LGS schematisch durchziehen (üben üben...)
Integrale schematisch durchziehen ( üben üben )

jeden Tag 10 Integrale und 10 LGS minimum. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hast du demnächst Abschlussprüfung ? oder wie war das ?

21.04.2013, 23:52

Tipso

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Sende dir Infos per pn. Freude

Freude

Ps.
Werde ich machen.
Habe bei beiden Themen Schwächen.

lg

07.05.2013, 18:40

Tipso

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RE: Volumensintegral berechnen
hi,

Ich habe hier einmal ml statt cm^3 angegeben. Beim berchnen des Volumens. verwirrt

verwirrt

Zur Frage, was würde sich beim berechnen des Volumens ändern wenn wir die Grenzen gegeben hätten als $\begin{eqnarray*} 0< x<8 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 8 \end{eqnarray*}$ .

lg

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