Diedergruppe unendliche/endliche Ordnung

21.04.2013, 18:51

steviehawk

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Diedergruppe unendliche/endliche Ordnung

Meine Frage:
Hallo Leute, ich hab hier eine Aufgabe, wo ich etwas Hilfe brauche.

Sei G eine Gruppe. Dann heißt G eine Diedergruppe, wenn G von 2 Elementen der Ordnung 2 erzeugt wird. Es ist also $\begin{eqnarray*} G = \langle s,t \rangle \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s \neq t , s \neq 1 , t \neq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s^2 = t^2 = 1 \end{eqnarray*}$ Wir führen noch folgende Bezeichnung ein: Für $\begin{eqnarray*} k \geq 1 \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} s_k = sts... \end{eqnarray*}$ (k - Faktoren) und $\begin{eqnarray*} t_k = tst... \end{eqnarray*}$ (k-Faktoren). Also z.B. $\begin{eqnarray*} s_1 = s \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_3 = sts \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_6=tststs \end{eqnarray*}$ .

a) Hat das Produkt $\begin{eqnarray*} st \end{eqnarray*}$ unendliche Ordnung, so ist $\begin{eqnarray*} |G| = \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ besteht aus 1 sowie aus allen Elementen $\begin{eqnarray*} s_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_l \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} s,l \geq 1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also es gibt auch noch eine b) aber jetzt versuche ich erstmal die a)

Also ich finde das im Grunde von der Aussage her schon mal recht plausibel. Die Gruppe G werde von den Elementen s und t erzeugt. Das heißt ich kann z.B.:

$\begin{eqnarray*} ss = s^2 = 1 \end{eqnarray*}$ machen oder $\begin{eqnarray*} tt = t^2 = 1 \end{eqnarray*}$ Also wenn ich nur s und t mit sich selber multiplizieren, dann erhalte ich nur die 1 oder s bzw t selber. (bringt mir also nicht so viel)

Ich kann aber um neue Elemente zu erzeugen auch: $\begin{eqnarray*} st \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} ts \end{eqnarray*}$ rechnen.
So wenn da jetzt aber nie die 1 dabei rauskommt, egal wie oft ich das mache, das sagt mir ja die Aussage, dass das Produkt Ordnung unendlich hat, dann kann ich ja unendlich viele Elemente erzeugen, also hat die Gruppe Mächtigkeit unendlich, denn im Grunde hab ich ja: $\begin{eqnarray*} G = \left\{ 1,s,t,st,stst,ststst,stststst,...,\right\} \end{eqnarray*}$
das geht immer so weiter. Ich kann nun aber auch noch die ganzen Produkte $\begin{eqnarray*} ts,tst,tsts,tstst,.. \end{eqnarray*}$ bilden und die $\begin{eqnarray*} s_k \end{eqnarray*}$ für die k ungerade ist, die bekomme ich ja beim mehrfachen Produkt von $\begin{eqnarray*} st \end{eqnarray*}$ noch nicht.. Also besteht die Gruppe aus den Elementen der Form: $\begin{eqnarray*} s_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_l \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k,l \geq 1 \end{eqnarray*}$

was sagt ihr dazu??

Danke für die Hilfe!!!

23.04.2013, 08:42

steviehawk

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RE: Diedergruppe unendliche/endliche Ordnung
Hat einer eine Idee?? Wie man das sonst machen könnte, mir fällt irgendwie nichts ein..

Vielen Dank!!!

23.04.2013, 09:17

ollie3

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RE: Diedergruppe unendliche/endliche Ordnung
hallo,
zumindest ist der anfang doch klar: wenn das produkt st unendliche ordnung hat, kann
die gruppe ja nicht enlich sein, denn wäre sie endlich und hätte die ordnung n,
dann müsste spätestens die potenz (st)^n wieder gleich 1 sein, oder?
gruss ollie3

23.04.2013, 09:26

RavenOnJ

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Dass die Ordnung von G unendlich ist, ist klar, da $\begin{eqnarray*} st \end{eqnarray*}$ die Ordnung unendlich hat. Dass alle Elemente der Gruppe die von dir beschriebene Form haben, hast du gezeigt. Es ist jetzt noch zu zeigen, dass keine zwei von diesen $\begin{eqnarray*} s_k,t_l \end{eqnarray*}$ identisch sind.

Edit:@ollie sorry, hatte nicht gesehen, dass du schon geantwortet hattest.

24.04.2013, 10:08

steviehawk

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Schon mal vielen Dank ihr beiden.

Also angenommen: $\begin{eqnarray*} s_k = t_l \end{eqnarray*}$ dann folgt:

$\begin{eqnarray*} stststst...st = tststs...ts \end{eqnarray*}$ für k faktoren auf der linken Seite und l Faktoren auf der rechten Seite.

Für $\begin{eqnarray*} k=l \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} s_k \neq t_l \end{eqnarray*}$ da die Gruppe im Allgemeinen nicht kommutativ ist.

Für $\begin{eqnarray*} k > l \end{eqnarray*}$ finde ich das ganze Produkt $\begin{eqnarray*} t_l \end{eqnarray*}$ als Teil auch in $\begin{eqnarray*} s_k \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} k > l \end{eqnarray*}$ wird es noch mit mehr Faktoren multipliziert, also kann es nicht gleich sein.

Für $\begin{eqnarray*} k < l \end{eqnarray*}$ finde ich das ganze Produkt $\begin{eqnarray*} s_k \end{eqnarray*}$ als Teil auch in $\begin{eqnarray*} t_l \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} l>k \end{eqnarray*}$ wird noch was dazu multipliziert, also kann es nicht gleich sein.

z.B. für $\begin{eqnarray*} k = 8 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} l = 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_8 = stststst = tstst = t_5 \end{eqnarray*}$ Sei $\begin{eqnarray*} tstst := a \end{eqnarray*}$ dann folgt:

$\begin{eqnarray*} s_8 = sast = a =t_l \end{eqnarray*}$ offensichtlich kann das nicht sein.

Als nächstes die b)

Hier soll das Produkt $\begin{eqnarray*} (st) \end{eqnarray*}$ die Ordnung $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ haben. Also $\begin{eqnarray*} (st)^m = 1 \end{eqnarray*}$ . Ich soll daraus folgern, dass dann gilt: $\begin{eqnarray*} |G|=2m \end{eqnarray*}$ und dass G aus den Elementen: $\begin{eqnarray*} t_m = s_m \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} s_1...s_{m-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_1...t_{m-1} \end{eqnarray*}$ .

Das verstehe ich schon mal nicht, wie kann denn $\begin{eqnarray*} s_m = t_m \end{eqnarray*}$ sein, dann wäre es ja kommutativ.

und wenn ich mal m=1 setzte, dann hat G ja angeblich nur 2 Elemente. Das habe ich mir nun klar gemacht. Löse ich das dann mit Induktion? Wohl kaum oder?

24.04.2013, 11:08

RavenOnJ

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Die a) ist noch nicht fertig. Bei deiner Argumentation drehst du dich im Kreis bzw. es fehlt noch was:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} s_8 = stststst = tstst = t_5 \end{eqnarray*}$ Sei $\begin{eqnarray*} tstst := a \end{eqnarray*}$ dann folgt:

$\begin{eqnarray*} s_8 = sast = a =t_{\color{red}5} \end{eqnarray*}$ offensichtlich kann das nicht sein.

Die 2. Zeile ist exakt dasselbe wie die erste, nur dass du einen Teil-String durch a ersetzt hast. Du hast also eine Annahme gemacht und behauptest dann ohne weitere Umformung, dass die Annahme falsch ist.

Du solltest stattdessen die Argumentation so führen, dass die Annahme $\begin{eqnarray*} s_k=t_l \end{eqnarray*}$ darauf hinaus läuft, dass es dann ein m mit $\begin{eqnarray*} s_m = 1\lor t_m=1 \end{eqnarray*}$ geben muss mit einem von k und l abhängigen m. Dies ist jedoch nicht möglich, wie leicht zu zeigen ist.

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24.04.2013, 11:18

ollie3

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hallo,
wollte nochmal was zum ersten teil sagen. Du warst zwar auf dem richtigen weg,
aber falsch ist ..."wird es mit noch mehr faktoren multipliziert, also kann es nicht
gleich sein". Wenn man an ein gruppenelement mehrere faktoren dranmultipliziert, kann es durchaus gleichbleiben.
Mache mal das beispiel ststs=ts, wenn man auf beiden seiten ts "kürzt", bleibt
dann sts=1über. Das muss aber nicht von vornherein unmöglich sein.
Jetzt kann man aber zwei mal mit s multiplizieren, einmal von links und einmal
von rechts, dann würde t=1 übrigbleiben, und erst jetzt haben wir den gewünschten widerspruch. Deine begründung war also nicht richtig.
zu b) melde ich mich später...
gruss ollie3

edit: @ravenonj: wir haben ja schon wieder die gleichen gedanken... Big Laugh

Big Laugh

24.04.2013, 11:35

RavenOnJ

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Zu b):

Zitat:

Original von steviehawk

Das verstehe ich schon mal nicht, wie kann denn $\begin{eqnarray*} s_m = t_m \end{eqnarray*}$ sein, dann wäre es ja kommutativ.

Wenn m ungerade, dann ist $\begin{eqnarray*} t_m^{-1}= t_m \end{eqnarray*}$ sowie nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} s_m t_m = 1 \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray*} s_m= t_m^{-1}= t_m \end{eqnarray*}$ . Wenn m gerade, dann ist $\begin{eqnarray*} t_m^{-1}= s_m \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 1=s_{2m}= s_m s_m = s_m t_m^{-1}\Rightarrow s_m = t_m \end{eqnarray*}$

Edit: @ollie Soll wohl so sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.04.2013, 11:44

RavenOnJ

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Zu b):
Du musst wieder zeigen, dass $\begin{eqnarray*} s_k\not= t_l, k\in\{1,2,\cdots,m-1\} \end{eqnarray*}$ gilt, sowie $\begin{eqnarray*} s_k\not= s_l\land t_k\not= t_l \small\text{, für }k\not= l \end{eqnarray*}$ .

24.04.2013, 11:46

steviehawk

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Danke für die Tipps.

Also ich mache jetzt mal bei der b) weiter, weil ich die momentan besser verstehe.

Ich konnte für $\begin{eqnarray*} k=l \end{eqnarray*}$ also die Annahme $\begin{eqnarray*} s_k = t_k \end{eqnarray*}$ einen Widerspruch zur Minimaltität von m herleiten, ich denke das passt. Das s_m = t_m ist konnte ich sinnvoll zeigen, vielleicht nicht so elegant wie RavenOnJ. Ich habe dazu einfach: $\begin{eqnarray*} s_{2m} = (st)^m = stststst...st = 1 \end{eqnarray*}$ so lange umgeformt bis links $\begin{eqnarray*} s_m \end{eqnarray*}$ und rechts $\begin{eqnarray*} t_m \end{eqnarray*}$ stand.

Wenn man ansetzt: Fall $\begin{eqnarray*} k=l \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_k = ststst...st = tststs...ts = t_k \end{eqnarray*}$ erhält man nach m Rechnungen:

$\begin{eqnarray*} 1 = s_{2k} \end{eqnarray*}$ was ein Widerpsruch zur Minimalität von m ist, da aus $\begin{eqnarray*} k<m \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} 2k < 2m \end{eqnarray*}$ folgt und gilt: $\begin{eqnarray*} s_{2m} = 1 \end{eqnarray*}$

Ich muss jetzt doch noch die Annahme machen für $\begin{eqnarray*} k<l \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k>l \end{eqnarray*}$ oder?

24.04.2013, 11:55

steviehawk

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Muss ich da auch noch k und l gerade oder ungerade beachten?? Bei den Fällen k>l und k<l ?

24.04.2013, 11:56

RavenOnJ

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Du setzt in deiner Rechnung voraus, dass k gerade. Was ist mit k ungerade?

24.04.2013, 11:59

RavenOnJ

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Du musst immer die Fälle ungerade und gerade unterscheiden, da die Inversen von $\begin{eqnarray*} s_m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_m \end{eqnarray*}$ für die beiden Fälle unterschiedlich sind. Letztendlich läuft es immer darauf hinaus, dass das minimale k, für das $\begin{eqnarray*} s_k=1\land t_k=1 \end{eqnarray*}$ gilt k=2m ist. Was naürlich zu zeigen ist.

24.04.2013, 12:11

steviehawk

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Wenn ich k=l und k ungerade ansetze geht das doch analog;

$\begin{eqnarray*} s_k = ststst...s = tststs...t = t_k \end{eqnarray*}$ dann multipliziere ich immer abwechselnd von rechts erst s dann t dran, bis da steht:

$\begin{eqnarray*} 1 = ststst...t = (st)^k \end{eqnarray*}$ das ist ein Widerspruch zur Minimalität von m.

Und bei den Fällen k<l und k>l (ungerade/gerade) bekomme ich immer den bereits beschriebenen Widerspruch mit t=1.

24.04.2013, 12:21

RavenOnJ

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Zitat:

Original von steviehawk
Und bei den Fällen k<l und k>l (ungerade/gerade) bekomme ich immer den bereits beschriebenen Widerspruch mit t=1.

Oder s=1. Du meinst den von ollie beschriebenen Widerspruch? Ansonsten ist die b) wohl ok.

24.04.2013, 12:25

steviehawk

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genau oder s=1. Ja ich meinte den Widerspruch von Olli3.

Wann erhalte ich denn s = 1 und wann t=1, das ist doch mal so mal so, je nach dem wie viel größer k zu l war oder?

Ich bekomm nämlich für $\begin{eqnarray*} s_4 = t_3 \end{eqnarray*}$ s = 1 und für $\begin{eqnarray*} s_6 = t_3 \end{eqnarray*}$ t = 1 und beides mal habe ich ja k gerade und l ungerade.

24.04.2013, 13:22

RavenOnJ

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Es kommt darauf an, ob das Resultat der Rechnung $\begin{eqnarray*} s_{4k+1}=1 \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} t_{4k+3}=1 \end{eqnarray*}$ ) oder $\begin{eqnarray*} s_{4k+3}=1 \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} t_{4k+1}=1 \end{eqnarray*}$ ) ist mit $\begin{eqnarray*} k\in\{0,1,\cdots\} \end{eqnarray*}$ (die Fälle $\begin{eqnarray*} s_{2k}=1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} t_{2k}=1 \end{eqnarray*}$ werden durch den Widerspruch zur Minimalität von 2m erschlagen). Aus $\begin{eqnarray*} s_{4k+1}=1 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} s=1 \end{eqnarray*}$ und aus $\begin{eqnarray*} s_{4k+3}=1 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} t=1 \end{eqnarray*}$ .

Du würdest schnell darauf kommen, wenn du berücksichtigst, dass

$\begin{eqnarray*} s_{n}^{-1}=\begin{cases}s_n\text{ für n ungerade}\\ t_n\text{ für n gerade}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Analog für $\begin{eqnarray*} t_n^{-1} \end{eqnarray*}$ .

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