Isomorphie Untergruppe von S3 und Z2 / Z3

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Kat2 Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphie Untergruppe von S3 und Z2 / Z3
Meine Frage:
Zu zeigen: Es gibt 3 verschiedene Untergruppen von S3, die isomorph zu Z2 sind und es gibt eine Untergruppe von S3, die isomorph zu Z3 ist

Meine Ideen:
Also S3 besteht ja aus id, (12), (13), (23), (123) und (132).
Die Untergruppen sind damit auch klar: U1={id}, U2={id, (12)}, U3={id, (13)}, U4={id, (23)}, U5={id, (123), (132)}.
So weit, so gut.
Mir will generell die Verbindung zwischen Z2 bzw Z3 und S3 nicht so ganz einleuchten.
Z2 besteht doch einfach nur aus 0 und 1? Ich hab irgendwo im Forum gelesen, dass man ja hiermit 2x2 Matrizen bilden soll, 16 an der Zahl, und wenn man die mit Det 0 weglässt, bleiben 6 Matrizen übrig, was ganz toll sei, weil ja S3 auch 6 Elemente hat. Hab ich auch fein gemacht, 6 matrizen sind übrig geblieben, Tatsache.
Jetzt hab ich die Ordnungen der Matrizen und der Zyklen bestimmt,
dabei kamen 3 Matrizen heraus, für die die Ordnung 2 ist, wie für (12) (13) und (23). Die kann man also verbinden dachte ich, nur wie genau weiß ich nicht...
Also beim Isomorphismus ist es ja so, dass es eine Bijektion von X nach Y mit f(u) * f(v) = f(u * v) gibt.
Aber selbst wenn ich die Zyklen in Matritzen Darstellung schreibe, sind dass ja 3x3 Matrizen, weil sie ja aus S3 kommen, und die Matrizen, die ich aus Z2 gebildet habe, sind ja 2x2 Matritzen?! Wie soll da denn irgendetwas zusammenpassen?

Danke für die Antworten, LG
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphie Untergruppe von S3 und Z2 / Z3
machs dir doch nicht so kompliziert - also zu Z_2 isomorphe untergruppen von S_3 kommen doch sowieso nur die 2-elementigen in frage, und da ein möglicher isomorphismus zwischen diesen und Z_2 sowieso schon id auf id abbilden muss, ist er damit auch schon eindeutig bestimmt - du musst dann nur noch zeigen, dass diese abbildung auch wirklich isomorph ist, was du ganz leicht z.b. einfach durch nachrechnen für einzelne elemente prüfen kannst.
lg
Kat2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphie Untergruppe von S3 und Z2 / Z3
Sorry, war Abendessen.
Ähm, ja ich hatte es mir nicht kompliziert gemacht, eigentlich war ja klar, dass es die 3 zweielementigen sein müssen.
Ich wusste nur nicht weiter und hab dann mal die foren durchsucht und dachte so kommt man vllt auf irgendwas vernünftiges.
Gut, dem war also nicht so. Aber ich stehe trotzdem noch auf dem Schlauch. der isomorphismus ist schon eindeutig bestimmt verwirrt Huch, wie denn das?
Also id wird auf id abgebildet, ja, macht sinn denke ich ^^
Aber wie gesagt wo ist der Zusammenhang zwischen Z2 und S3?? Also Z2 ist doch ({0,1},+) und wie bilde ich da jetzt was auf wen ab? 0 auf id und 1 auf (1 2) bzw (2 3) und (1 3) oder was?! verwirrt
Also ja, 0+0 ist 0 und id*id ist id, 1+1 ist wieder 0 und (1 3)*(1 3) ist id. usw. das passt ja alles. Aber... das ist alles?!

Deshalb dachte ich auch die Matrizendarstellung würde irgendwas bringen - weil man so ja wengstens vom selben - eben Matrizen - redet. aber man kann 0 und 1 auf Zyklen abbilden? oO
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphie Untergruppe von S3 und Z2 / Z3
Zitat:
0 auf id und 1 auf (1 2) bzw (2 3) und (1 3) oder was?!
genau. es bleibt auch wie gesagt nichts anderes übrig. die 1 muss auf id, und weil ein isom. bijektiv ist, muss dann eben was noch übrigbleibt auf das, was noch übrigbleibt - und damit ist das ding schon vollständig (eindeutig) bestimmt.

Zitat:
Also ja, 0+0 ist 0 und id*id ist id, 1+1 ist wieder 0 und (1 3)*(1 3) ist id. usw. das passt ja alles. Aber... das ist alles?!
ja, damit hast du gezeigt, dass es einen isomorphismus zwischen den dingern gibt. das ist doch die aufgabe.

Zitat:
Deshalb dachte ich auch die Matrizendarstellung würde irgendwas bringen - weil man so ja wengstens vom selben - eben Matrizen - redet. aber man kann 0 und 1 auf Zyklen abbilden?
wie? natürlich kann man 0 und 1 auf zyklen abbilden, wwarum sollte man nicht? und mit deinen matrizen meinst du, die permutationen als permutationsmatrizen schreiben? kann man machen, und ist auch oft nützlich, hierfür aber nicht unbedingt besonders hilfreich.

lg
Kat2 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr Mit Zunge
ich dachte echt, so ist das doch zu einfach. Hatte bei isomorphismen wohl nicht soo sehr aufgepasst...
Jo, die permutationsmatrizen meinte ich, genau. Dachte nur, weils halt in nem anderen, ähnlichen beitrag beschrieben wurde, aber gut ^^ dann setz ich mich mal an algebra, ist ja noch Zeit bis morgen früh Big Laugh
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