Vektorraum

21.04.2013, 23:20	pepee	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum Meine Frage: Huhu! a) Die Menge der Polynome von Grad n ist die Menge aller Funktionen, die sich als Summe der Potenzen $\begin{eqnarray} x^0, x^1, x^3...,x^n \end{eqnarray}$ der Variable x mit reellen Koeffizienten [/latex]a_0, a_1, a_2...,a_n[/latex] schreiben lassen, $\begin{eqnarray} P_n=\left\{ f: \mathbb R \to \mathbb R , x\to f(x)=\sum\limits_{k=0}^n a_kx^k mit a_k\in \mathbb R \right\} \end{eqnarray}$ Versehen Sie diese Menge mit 2 geeigneten Operationen, Addition und skalare Multiplikation, und zeigen sie, dass sie so einen reellen Vektorraum erhalten. b) Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray} \mathbb R ^2 \end{eqnarray}$ mit den folgenden Operationen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} y_1\\ y_2 \end{pmatrix} :=\begin{pmatrix} x_1+y_1+1\\ x_2+y_2+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} :=\begin{pmatrix} x_1+y_1-1\\ x_2+y_2-1 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich komme mit den Aufgaben nicht klar Wie kann ich denn anfangen?
21.04.2013, 23:58	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum "... ein vektorraum ist?" soll der satz bei b) so enden? bei a) musst du die vektorraumaxiome nachprüfen, d.h. du musst z.b. zeigen, dass $\begin{eqnarray} (P_n,+) \end{eqnarray}$ eine abelsche gruppe ist. D.h. z.b., dass es in der menge $\begin{eqnarray} P_n \end{eqnarray}$ ein neutrales element, also ein polynom $\begin{eqnarray} e(x) \end{eqnarray}$ geben soll, bezügliche dessen $\begin{eqnarray} p(x)+e(x)=p(x) \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} p(x)\in P_n \end{eqnarray}$ gilt. Für $\begin{eqnarray} e(x):=0+0x+\dots 0x^n=0 \end{eqnarray}$ ist dies offensichlich erfüllt. Jetz musst noch die 11 anderen vektorraumaxiome nachprüfen.
22.04.2013, 00:03	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
@fleurita: schon mal wieder was von dir zu hören
22.04.2013, 00:06	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
@Dopap: dankeschön! Man setzt halt doch andere prioritäten, wenn sich privat was ändert

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