r-Zykel verknüpft mit Element S_n (vorne)und inversem (hinten) ergibt Element auf r-Zykel angewendet

22.04.2013, 00:23	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
r-Zykel verknüpft mit Element S_n (vorne)und inversem (hinten) ergibt Element auf r-Zykel angewendet Hallo, meine Aufgabenstellung lautet wie folgt: Ist $\begin{eqnarray} (i_1, \ldots i_r) \end{eqnarray}$ ein r-Zykel und $\begin{eqnarray} \sigma \in S_n \end{eqnarray}$ , so gilt: $\begin{eqnarray} \sigma (i_1, \ldots i_r) \sigma^{-1}= (\sigma(i_1), \ldots \sigma(i_r)) \end{eqnarray}$ . Dies soll ich also zeigen. Mein Problem liegt im Beweis. Ich habe einmal ein Bsp gerechnet, um zu sehen, wie das abläuft. $\begin{eqnarray} \sigma \in S_n \end{eqnarray}$ ist also ein Element aus der symetrischen Gruppe. Ich habe in meinem Bsp einmal die $\begin{eqnarray} S_5 \end{eqnarray}$ gewählt und als ein Element $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ daraus die Permutation (12). Das Inverse ist leicht berechnet und ergibt sich zu (12) Als Element aus der $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ habe ich einmal (1,2,3,4,5) gewählt. Es ergibt sich (12)(12345)(12)=(13452) und ((12)(1), (12)(2), (12)(3), (12)(4), (12)(5))= (21345)=(13452). Bei dem Beispiel stimmt also die zu zeigende Aussage. Nun soll ich das aber ja verallgemeinern und für alle symetrischen Gruppen sowie alle $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ beweisen. Hier fehlt mir irgendwie noch der Ansatz.. Es klappt zwar jetzt in dem Beispiel, aber ich erkenne noch nicht so recht die Struktur. Ich kann das ja für alle möglichen $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ machen, nicht nur für Permutationen und dann müsste ich ja jeweils erst das Inverse berechnen (das ich erhalte, indem ich die Zahlen des Zykels "andersrum" in den Zykel schreibe.". Je nach Ordnung von $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ erhalte ich doch dann ganz andere Ergebnisse. Bei den Bsp die ich berechnet habe, wurde jeweils eine Zahl aus dem Zykel in der Mitte woanders im Zykel geschoben, die restlichen Zahlen blieben von der Reihenfolge gleich. Würde mich sehr über einen Hinweis freuen, wie ich das angehen könnte. lg Duude
22.04.2013, 14:54	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: r-Zykel verknüpft mit Element S_n (vorne)und inversem (hinten) ergibt Element auf r-Zykel angewe Hallo Duude, Die Struktur von $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ spielt hier besondere keine Rolle. Du musst letztlich nur zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sigma (i_1, \ldots i_r) \sigma^{-1} \end{eqnarray}$ genau so abbildet wie gewünscht, d.h.: (1) $\begin{eqnarray} \sigma (i_1) \end{eqnarray}$ wird auf $\begin{eqnarray} \sigma(i_2) \end{eqnarray}$ abgebildet, etc. (2) Alle anderen Elemente $\begin{eqnarray} j\not\in\{\sigma(i_1),...,\sigma(i_r)\} \end{eqnarray}$ werden festgelassen. Gruß Reksilat
24.04.2013, 23:53	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Reksilat, danke für den Hinweis. Ich habs mittleweile auch für den allgemeinen Fall (also für ein allgemeines $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ ) hinbekommen.. bei dem die Struktur von $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ keine Rolle spielt. Das obige Beispiel hatte ich verwendet, um möglicherweise auf einen Ansatz zu kommen, wie das abläuft, um es beweisen zu können. Dabei habe ich mich wohl zu sehr auf die Möglichkeiten versteift, wie sigma aussehen könnte, anstatt das einfach allgemein zu beweisen. Hat mir also geholfen, etwas aus der einseitigen Sichtweise rauszukommen lg Duude

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