Kompaktheit, diskreter top. Raum

22.04.2013, 11:02

hh1234

Kompaktheit, diskreter top. Raum

Aufgabe

a) Zeigen Sie, dass eine Teilmenge M des diskreten top. RAums X genau dann kompakt ist, wenn M endlich ist.

b) Finden Sie einen top. Raum X und eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} M\subset X \end{eqnarray*}$ , welche kompakt, jedoch nicht abgeschlossen ist.

Ideen:

Bisher fehlt jeglicher Ansatz, daher erstmal die Defis.

Diskreter top. Raum, wird wohl von der diskreten Metrik induziert, die den Abstand zwischen zwei Punkte x,y wie folgt definiert: 0, wenn x=y , sonst 1 .

X top. Raum, $\begin{eqnarray*} K \subset X \end{eqnarray*}$ . Dann heißt K kompakt, falls jede offene Ueberdeckung $\begin{eqnarray*} (U_{i}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i\in I \end{eqnarray*}$ von K eine endliche Teilueberdeckung besitzt. D.h. $\begin{eqnarray*} \exists i_{1}...i_{k} \in I \end{eqnarray*}$ , s.d. $\begin{eqnarray*} K \subset U_{i1}\cup ...\cup U_{ik} \end{eqnarray*}$

Zu a). das bedeutet ich brauche eine Offene Überdeckung von M, sodass endlich viele Vereinigungen der Intervalle zu M ausreichen, damit $\begin{eqnarray*} M \subset U_{i1}\cup ...\cup U_{ik} \end{eqnarray*}$ ?

Edit: Präziser, dass soll nur für M erfüllt sein, wenn M selbst endlich ist, also damit auch abgeschlossen? Und ich brauche nicht eine offene Überdeckung, sondern es muss für alle gelten. Wie gehe ich da jetzt vor?

22.04.2013, 11:33

RavenOnJ

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Zu a):
Benutze $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ -Kugeln $\begin{eqnarray*} B(x,\epsilon) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \epsilon <1 \end{eqnarray*}$ . Welche Teilmengen überdecken die? Konstruiere daraus eine Überdeckung von M und wende an, dass jede dieser Überdeckungen eine endliche Teilüberdeckung enthalten muss, damit M kompakt ist.

Edit: Es dürfte allerdings nicht ein Raum mit diskreter Metrik gemeint sein, sondern einer, auf dem die diskrete Topologie definiert ist, d.h. jede Teilmenge gehört zur Topologie. Dann gehören aber insbesondere auch die Teilmengen $\begin{eqnarray*} \{x\},x\in M \end{eqnarray*}$ zu den offenen Mengen.

22.04.2013, 12:25

Ungewiss

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Für die b) kannst du mal die gröbste Topologie, die es gibt, betrachten.

22.04.2013, 17:12

hh1234

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Zu a):
Benutze $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ -Kugeln $\begin{eqnarray*} B(x,\epsilon) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \epsilon <1 \end{eqnarray*}$ . Welche Teilmengen überdecken die? Konstruiere daraus eine Überdeckung von M und wende an, dass jede dieser Überdeckungen eine endliche Teilüberdeckung enthalten muss, damit M kompakt ist.

Edit: Es dürfte allerdings nicht ein Raum mit diskreter Metrik gemeint sein, sondern einer, auf dem die diskrete Topologie definiert ist, d.h. jede Teilmenge gehört zur Topologie. Dann gehören aber insbesondere auch die Teilmengen $\begin{eqnarray*} \{x\},x\in M \end{eqnarray*}$ zu den offenen Mengen.

Mh, ich kann mir noch nicht wirklich etwas unter einer Topologie vorstellen und somit auch nicht was es bedeutet, wenn die diskrete Metrik diese diskrete Topologie induziert und wie letztere dann aussieht.

Spontan würde ich sagen, dass die $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ -Kugeln $\begin{eqnarray*} B(x,\epsilon) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \epsilon <1 \end{eqnarray*}$ dann für alle x aus der Topologie eine Überdeckung darstellen, außer vielleicht die Randpunkte.

Ich würde wenn machbar ganz gerne die Äquivalenz in zwei Schritten zeigen. Also zunächst:

$\begin{eqnarray*} M\subset X , M kompakt \Rightarrow M endlich \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} M\subset X \end{eqnarray*}$ kompakt $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \exists i_{1} ...i_{k} \in I~ s.d. ~M \subset U_{i1} \cup ...\cup U_{ik}~ \forall~ offenen~ Ueberdeckungen ~(U_{i}) \end{eqnarray*}$

*Auf b) gehe ich später ein.

22.04.2013, 17:43

hh1234

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Ich kann leider nichtmehr editieren, daher sry für den Doppelpost.

Ich habe jetzt mal auf Wiki geschaut was genau eine diskrete Topologie bedeutet.

"Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist ein topologischer Raum diskret, wenn alle Punkte isoliert sind, d. h. wenn in einer hinreichend kleinen Umgebung des Punktes keine weiteren Punkte liegen."

Das ist doch dann äquivalent zur Hausdorffsch-Eigenschaft oder wo ist da der Unterschied?

Nun habe ich das Lemma: kompakter Hausdorffraum mit $\begin{eqnarray*} M \subset X \end{eqnarray*}$ dann ist "M kompakt = M abgeschlossen".

Damit wüsste ich dann bei der Hinrichtung, bei der ich annehme dass es kompakt ist, dass M abgeschlossen ist. Kann ich daraus folgern dass M endlich ist?

///

Dass der Raum kompakt ist kann ich ja aber gar nicht annehmen sondern nur dass die Teilmenge kompakt ist. Also stattdessen den Satz:

Sei X Hausdorffraum, $\begin{eqnarray*} K \subset X \end{eqnarray*}$ kompakt. Dann gilt, K ist abgeschlossen.

Soweit richtig?

23.04.2013, 14:17

hh1234

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Zitat:

a)
Für kompakt ==> M endlich

Da die Einelementigen dazugehören, kann man aus diesen eine Überdeckung von M bilden. Wäre M jetzt aber nicht endlich, so bräuchte man unendlich viele dieser einelementigen Überdeckungen was ein Widerspruch zu M kompakt, also der Existenz endlich vieler Teilüberdeckungen für jede Überdeckung wäre.

Für die Rückrichtung::

M endlich, dann muss es auch zwangsläufig für alle Überdeckungen eine endliche Teilüberdeckung von M geben. Also ist M kompakt.

23.04.2013, 16:09

RavenOnJ

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