Argument berechnen

22.04.2013, 12:29

Maxi Maxi

Argument berechnen

Meine Frage:
hi hi

Die Aufgabe ist es das Argument von $\begin{eqnarray*} (-1+i\sqrt{3})^{201} \end{eqnarray*}$ zu berechnen.

Nur leider dürfen wir keine direkten Formeln für die Berechnung des Arguments wie die im Wiki-Artikel "Komplexe Zahl" verwenden.

Meine Ideen:
Wenn das hoch 201 nicht wäre könnte ich $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ leicht mit einer Skizze und den trigonometrischen Formeln ausrechnen...

Könnt ihr mir helfen bitte?

22.04.2013, 12:35

Steffen Bühler

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RE: Argument berechnen
Bei 1 und Wurzel 3 dürfte es klingeln, was den Winkel betrifft, oder?

Und dann die Potenzgesetze.

Viele Grüße
Steffen

22.04.2013, 12:40

Maxi Maxi

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RE: Argument berechnen
Danke.

Ich fürchte es klingelt nicht. Also $\begin{eqnarray*} arg({-1+i\sqrt{3}})=\frac{2}{3}\pi \end{eqnarray*}$

Aber die Potenzgesetze? unglücklich

22.04.2013, 13:01

Steffen Bühler

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RE: Argument berechnen

Zitat:

Original von Maxi Maxi
Also $\begin{eqnarray*} arg({-1+i\sqrt{3}})=\frac{2}{3}\pi \end{eqnarray*}$

Ja genau, 120°. Das ist nämlich die halbe Grundseite und die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks. Du gehst ja 1 nach links und Wurzel 3 nach oben.

Oder kennst Du diesen Winkel aus einem anderen Grund auswendig? Denn wenn Du keine Formeln verwenden darfst...

Zitat:

Original von Maxi Maxi
Aber die Potenzgesetze?

Du hast jetzt phi von r*e^(i*phi) bestimmt, und sollst nun hoch 201 nehmen. Was geschieht dann mit den Exponenten?

Viele Grüße
Steffen

22.04.2013, 13:13

Maxi Maxi

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RE: Argument berechnen
Genau ich habe es dann mit $\begin{eqnarray*} \varphi=\frac{\pi}{2}+\alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tan{\alpha} = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}=\frac{1}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

und dann ist $\begin{eqnarray*} \alpha =\frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$ (laut wolframalpha)

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \varphi =\frac{2}{3}\pi \end{eqnarray*}$ . Das heißt eine trigonometrische Formel und ein Taschenrechner hab ich gebraucht. Meinst du das ist okay? Oder geht es ganz ohne Taschenrechner?

Das mit der Potenz hat jetzt auch geklappt :-). Das Argument ist 0. Stimmt das?

22.04.2013, 13:32

Steffen Bühler

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RE: Argument berechnen
Ich kann halt leider nicht sagen, was mit "keine direkten Formeln für die Berechnung des Arguments" gemeint ist. Aber wegen der Wurzel 3 ist es eben so, dass man überhaupt keinen Taschenrechner braucht, um das Argument zu berechnen. Man "weiß" einfach, dass ein gleichseitiges Dreieck der Kantenlänge 2 die Höhe Wurzel 3 hat.

Es könnte also sein, dass erwartet wird, dass Du dieses Dreieck in der komplexen Ebene "siehst" (siehst Du's denn?) und somit ohne jegliche Hilfsmittel den Winkel dieser komplexen Zahl (die ja die Spitze des Dreiecks darstellt) angeben kannst. Ehrlich gesagt, ich würde es als Lehrer erwarten. Ich bin aber keiner.

In der Tat, Null ist richtig. Auch dies kann man im Kopf rechnen. Wie hast Du's gemacht?

22.04.2013, 13:42

Leopold

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Man kann ja erst einmal $\begin{eqnarray*} \left( -1 + \operatorname{i} \sqrt{3} \right)^3 \end{eqnarray*}$ berechnen und erhält:

$\begin{eqnarray*} \left( -1 + \operatorname{i} \sqrt{3} \right)^3 = \left( -1 + \operatorname{i} \sqrt{3} \right)^2 \cdot \left( -1 + \operatorname{i} \sqrt{3} \right) = \left( -2 - 2 \operatorname{i} \sqrt{3} \right) \cdot \left( -1 + \operatorname{i} \sqrt{3} \right) = -2 \cdot \left( 1 + \operatorname{i} \sqrt{3} \right) \cdot \left( -1 + \operatorname{i} \sqrt{3} \right) = (-2) \cdot (-4) = 8 \end{eqnarray*}$

Und jetzt ist $\begin{eqnarray*} 201 = 3 \cdot 67 \end{eqnarray*}$ .

22.04.2013, 14:21

Maxi Maxi

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auch eine gute Idee Leopold!

Ja jetzt seh ichs auch. Vielen Dank!

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