Zahlentheorie: Teilbarkeit Binomialkoeffizient |
22.04.2013, 15:24 | Thorus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zahlentheorie: Teilbarkeit Binomialkoeffizient Zeige: teilt . Ich habe bereits relativ langwierig versucht, den Ausdruck passend umzuformen, und habe es dann auch mit Induktion versucht, nach folgendem Muster: Es gelte . Dann ist , wo ich nicht weiterkomme, da ja nicht klar ist, ob/dass . Ich hab auch bereits versucht, an das irgendwie konkreter ranzukommen, und ich habe versucht auszunutzen. Das war alles relativ erfolglos. Wahrscheinlich ist die Lösung ganz einfach, aber ich seh sie nicht. Mag mir bitte jemand einen Hinweis geben? |
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22.04.2013, 17:05 | Thorus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hat sich erledigt. |
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22.04.2013, 17:22 | PeterSchmitt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, ich bin bei der Induktion genauso weit gekommen wie Thorus, allerdings bin ich noch nicht dahinter gekommen, wieso gelten sollte. Kann mir jemand einen Tipp geben? Danke! Viele Grüße, Peter |
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22.04.2013, 21:09 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Auf alle Fälle teilt p prim die Zahl , da . Da außerdem , kann p in nicht als Faktor enthalten sein. Also muss p auch teilen. |
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22.04.2013, 22:06 | PeterSchmitt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Überlegungen bzgl. der Teilbarkeit von 2n! und n! hatte ich auch bereits. Allerdings verstehe ich deine letzte Schlussfolgerung nicht. Warum soll p teilen, wenn p die Zahl 2n! aber nicht n! teilt? Danke! |
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22.04.2013, 22:24 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Weil eine natürliche Zahl ist, gibt es eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren. p ist in als Primfaktor vorhanden, wie jede Primzahl kleiner oder gleich 2n. Die Primfaktoren in können durch Primfaktoren in neutralisiert werden, sodass sie in S nicht mehr vorkommen. p ist aber größer als n, kann also in nicht als Faktor vorhanden sein. Er muss also auch in S als Primfaktor vorkommen. |
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23.04.2013, 08:38 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man könnte noch hinterherschicken: Jede Primzahl kommt in der Zerlegung von mit Multiplizität Eins vor. Sei also die Menge aller Primzahlen mit , dann kommen in der Primfaktorzerlegung von nur Primfaktoren vor. |
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23.04.2013, 18:50 | PeterSchmitt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zu deinem ersten Beitrag: Hier verstehe ich wieder die letzte Schlussfolgerung nicht. Alle mit sind nun eliminiert. Aber warum muss dann als Primfaktor von vorkommen? Immerhin kann es ja auch andere Primzahlen geben mit, sodass eine Primfaktorzerlegung dieser Primzahlen ist und nicht enthalten ist. Auch wenn ich die Primzahlen elminiere und herausschreibe: Aus , wobei der verbleiende Bruch ist, folgt nicht Zu deinem zweiten Beitrag: Auch ist mir unklar, wieso nur Primfaktoren vorkommen sollten bei . Hier sind ja alle Primzahlen im Zähler elimniniert, die restlichen stehen nur im Nenner. |
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23.04.2013, 18:56 | PeterSchmitt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Auf jeden Fall herzlichen Dank! |
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23.04.2013, 19:12 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sei . Es ist doch hoffentlich klar, dass p ein Primfaktor in ist, da die Zahl auf alle Fälle in der Menge enthalten ist. In den Zahlen können aber nur Primfaktoren vorkommen. Das gilt dann ebenso in und in . Der Primfaktor p in wird also in nicht neutralisiert, muss also auch dort als Primfaktor enthalten sein. |
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23.04.2013, 19:20 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich möchte dich auf die Definition von aufmerksam machen. In dieser Menge sind alle Primzahlen und enthalten. Man kann zeigen, dass diese in der Primfaktorzerlegung von genau mit Multiplizität 1 vorkommen. Teilt man also durch alle diese Primzahlen, dann können in nur noch Primfaktoren vorkommen und in natürlich auch. |
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23.04.2013, 22:20 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein Beispiel: Alle Primfaktoen sind . Man kann sogar zeigen, dass sie alle sein müssen. |
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24.04.2013, 11:46 | PeterSchmitt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Herzlichen Dank RavenOnJ für deine Mühen! Nun habe auch ich es verstanden! |
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