Logarithmische Spirale

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Sway Auf diesen Beitrag antworten »
Logarithmische Spirale
Hallo,

die logarithmische Spirale ist gegeben durch:



Für jedes sei und der Winkel zwischen der x-Achse und der Geraden durch (0,0) und c(t).

Zu zeigen ist:

mod 2Pi

Also das r(t) habe ich mit der euklidischen Norm berechnet und ergibt .

Dann habe ich mir gedacht, dass man das irgendwie mit der Tangente c' berechnen könnte, komme aber nicht weiter..

Hat hier jemand einen Tipp für mich?

Vielen vielen Dank!
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Logarithmische Spirale
Hallo,

vielleicht etwas mit Schulwissen: Steigungsdreieck und arcus-Winkelfunktionen anschauen. Hilft das?

Abakus smile
Sway Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Logarithmische Spirale
Danke für deine Antwort!

Also das Steigungsdreieck ist folgendermaßen definiert:

y = kx + d

und für den Winkel Phi müsste gelten:



Stimmt das so?

Nur was ist dann a,b,c?

Wenn r der Radius ist, dann ist das schon mal b oder?
Und für mein c kann ich dann den x-Wert von meiner Parametrisierung c(t) nehmen? Was ist dann mit dem y-Wert? Ebenso für c', da habe ich ja auch eine Parametrisierung.

Das verstehe ich nicht ganz...
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Logarithmische Spirale
Versuche mal Gegenkathete durch Ankathete im Steigungsdreieck. Und was müsstest du bei der Funktionsgleichung durcheinander teilen, um den Tangens ins Spiel zu bringen?

Abakus smile
Sway Auf diesen Beitrag antworten »

Also für mein Steigungsdreieck müsste gelten:

Gegenkathete/Ankathete =

Also x und y von meinem c(t) oder?

Weiters gilt:



Da ich ja vom Nullpunkt wegstarte gilt dann folgendes:



??
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sway
Also für mein Steigungsdreieck müsste gelten:

Gegenkathete/Ankathete =

Also x und y von meinem c(t) oder?


Ja, und das ist der Tangens des gesuchten Winkels. Also noch die e-Funktion kürzen und den arctan bilden:



Und jetzt einen genauen Blick auf die Periode des arctan und negative/positive Längen bei den Katheten.

Abakus smile
 
 
Sway Auf diesen Beitrag antworten »

Super, danke.

Also der arctan mit 2 Argumenten hat Periode 2Pi?

Das mit den Längen der Katheten ist mir jetzt noch ein bisschen ein Rätsel..?
Da muss das k ins Spiel kommen oder?

Brauche ich bei dieser Berechnung die Tangente gar nicht mehr?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Was wird denn hier veranstaltet? verwirrt

Man bilde das Skalarprodukt von und dem Einheitsvektor in -Richtung und erhalte .
Dann muss man sich nur noch kurz um die Orientierung kümmern.
Sway Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, jetzt bin ich etwas verwirrt..

Das hat doch schon gut ausgesehen!?

Das mit dem modulo 2Pi ist mir noch nicht klar..?

Was ist denn der Einheitsvektor in "x-Richtung"?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sway
Also der arctan mit 2 Argumenten hat Periode 2Pi?


Der arctan hat hier nur ein Argument, und er ist nichtperiodisch. Schaue dir den Graphen zB mal bei Wiki an.

Zitat:
Das mit den Längen der Katheten ist mir jetzt noch ein bisschen ein Rätsel..?
Da muss das k ins Spiel kommen oder?

Brauche ich bei dieser Berechnung die Tangente gar nicht mehr?


Du hast eine y- und eine x-Koordinate in der Funktionsgleichung deiner Spirale. Ich schlage dir vor, eine Zeichnung zu machen.

Abakus smile

@ Che: geht natürlich auch
Sway Auf diesen Beitrag antworten »

Mensch, ich steh hier ja ordentlich auf der Leitung..

Also das mit der Periode ist klar, habe mir den arctan nochmals genauer angesehen...

Ich komme trotzdem noch nicht auf die 2Pi und ich verstehe hier noch etwas Grundlegendes nicht:

Muss ich die Formel für das Steigundsdreieck noch fertigstellen oder?

Ich habe x und y-Koordinate, und ich starte vom Nullpunkt, dann müssten diese doch die Längen sein oder??


Der andere Weg interessiert mich auch:

Ich habe für

herausbekommen.

Für den Einheitsvektor gehe ich genauso vor, doch welchen Vektor ziehe ich heran? Und wie komme ich darauf?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sway
Also für mein Steigungsdreieck müsste gelten:

Gegenkathete/Ankathete =

Also x und y von meinem c(t) oder?


Du hast genau das hier. Und wenn du jetzt noch kürzt, steht da . Andererseits ist das aber auch , wobei der Winkel im Steigungsdreieck ist.

OK, jetzt wendest du die Umkehrfunktion arctan darauf an und bekommst was?

Abakus smile
Sway Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, das hatten wir doch schon, das ergibt t.

Ich kapiere hier einfach nicht, wie man das mit den 2Pi begründet.

Hat das was mit der Umdrehung der Spirale zu tun?

Danke für deine Geduld!
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