Tangente der Evolute steht senkrecht auf Tangente der Kurve

22.04.2013, 17:27

Sway

Tangente der Evolute steht senkrecht auf Tangente der Kurve

Hi,

man soll zeigen, dass die Tangente an c in c(t) und die Tangente an y in y(t) senkrecht aufeinander stehen.

Die Evolute ist folgendermaßen definiert:

$\begin{eqnarray*} y(t) = c(t) + \frac{n(t)}{k(t)} \end{eqnarray*}$

Laut Voraussetzung ist c regulär und daher weiß ich bereits, dass:

$\begin{eqnarray*} k'(t) \neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'(t) = - \frac{k'(t)*n(t)}{k^2(t)} \end{eqnarray*}$

Das sieht doch schon gut aus oder?

Aber, wenn die Tangenten senkrecht aufeinander stehen sollen, muss doch folgendes zeigen oder??

<y',c'>=0

Wie kann ich das denn zeigen? Wäre für jede Hilfe sehr dankbar!

22.04.2013, 19:51

Che Netzer

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RE: Tangente der Evolute steht senkrecht auf Tangente der Kurve

Zitat:

Original von Sway
Laut Voraussetzung ist c regulär und daher weiß ich bereits, dass:

$\begin{eqnarray*} k'(t) \neq 0 \end{eqnarray*}$

Das kannst du keineswegs folgern! Brauchst du zum Glück auch nicht.

Zitat:

Aber, wenn die Tangenten senkrecht aufeinander stehen sollen, muss doch folgendes zeigen oder??

<y',c'>=0

Ja, das ist zu zeigen.
Du weißt jetzt, dass $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ (oder $\begin{eqnarray*} \gamma' \end{eqnarray*}$ ?) stets parallel zu $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist.
Kannst du damit etwas anfangen?

22.04.2013, 20:04

Sway

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Oh, ok danke für die Korrektur..

Wieso weiß ich, dass das stets parallel ist?

Das wäre doch schon die Lösung, oder? Ich weiß ja, dass n senkrecht auf c' steht!

22.04.2013, 20:48

Che Netzer

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Zitat:

Original von Sway
Wieso weiß ich, dass das stets parallel ist?

Weil $\begin{eqnarray*} \gamma' \end{eqnarray*}$ ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist – das Vielfache ist hierbei die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \frac1\kappa \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Das wäre doch schon die Lösung, oder? Ich weiß ja, dass n senkrecht auf c' steht!

Genau.

23.04.2013, 12:22

Sway

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Super, vielen Dank!

Muss ich oder kann man das noch irgendwie zeigen?

23.04.2013, 19:11

Che Netzer

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Was? Dass $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ senkrecht auf $\begin{eqnarray*} c' \end{eqnarray*}$ steht? Das ist aus der Definition des Normalenvektors klar ( $\begin{eqnarray*} c' \end{eqnarray*}$ ist ja der Tangentialvektor).

23.04.2013, 19:53

Sway

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Vielen, vielen Dank für deine Hilfe!

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