Ableitungsmatrix Funktionsweise

22.04.2013, 17:39

Nighel123

Ableitungsmatrix Funktionsweise

Moin,

ich habe folgende aufgabe bekommen:

Betrachten Sie den Vektorraum R[X] der reellen Polynome mit der linearen Abbildung D : R(X) --> R(X), D(f) = f''; (zweite Ableitung). Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenräume von D.

Die Matrix zur Basis $\begin{eqnarray*} B=\{ 1,x,x^2 \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe aber nicht ganz wie ich da damit jetzt genau ableite. Muss ich da jetzt einfach quasi einen Vektor hinter schreiben bei dem in der ersten Komponente die Konstante ist und dann mit höheren Komponenten in der reinflolge immer höhere Potenzen von meinem polynom?

Außerdem ist es richtig dass ich die Matrix dann einfachn nur noch so umbauen muss dass sie zwei mal ableitet und dann rechne ich das charakteristische polynom aus? :S

Gruß Nickel

22.04.2013, 18:22

Che Netzer

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RE: Ableitungsmatrix Funktionsweise
Die Menge $\begin{eqnarray*} \{1,x,x^2\} \end{eqnarray*}$ ist keine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$ .
Dementsprechend kannst du die Eigenwerte/-vektoren/-räume auch nicht über eine Matrixdarstellung bestimmen, sondern musst sie direkt über die Definition ausrechnen.

22.04.2013, 21:37

Nighel123

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RE: Ableitungsmatrix Funktionsweise
Ok sind das nicht einfach nur die Polynome die aus einer Konstante bestehen? (Sie werden auf ihr 0-Faches abgebildet?

Und die die unendlich lang sind?

22.04.2013, 21:39

Che Netzer

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RE: Ableitungsmatrix Funktionsweise
Konstante Polynome sind zwar im Kern bzw. im Eigenraum zum Eigenwert Null der Abbildung enthalten, aber es gibt noch weitere Polynome, deren zweite Ableitung Null ist.

Zitat:

Und die die unendlich lang sind?

Unendlich lange Polynome? verwirrt

22.04.2013, 22:20

Nighel123

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ähh ich mein alle Polynome der Form $\begin{eqnarray*} a+cx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ Sonst gibt es doch keine Polynome die auf ein vielfaches von sich selbst abegebildet werden oder?

aber ich hab noch eine Frage: Nur jetzt falls ich die Ableitungsmatrix mal benutzen möchte. Also wenn ich jetzt diese Ableitungmatrix mit sowas hier multipliziere:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} .\begin{pmatrix} 1 \\ x \\ x^2 \\ x^3 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ 2 x^2 \\ 3 x^3 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

kommt ja irgendwie was komisches raus. Muss ich das eher so machen?:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} .\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wobei die 1 jetzt in der dritten Zeile 1 "x^2" darstellt , dass dann im Ergebniss zu 2 "x" wird?

Gruß nickel

23.04.2013, 06:26

Che Netzer

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Zitat:

Original von Nighel123
ähh ich mein alle Polynome der Form $\begin{eqnarray*} a+cx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Ja, die bilden genau den Kern.

Zitat:

Sonst gibt es doch keine Polynome die auf ein vielfaches von sich selbst abegebildet werden oder?

Was noch zu zeigen wäre.

Zitat:

aber ich hab noch eine Frage: Nur jetzt falls ich die Ableitungsmatrix mal benutzen möchte. Also wenn ich jetzt diese Ableitungmatrix mit sowas hier multipliziere:

[...]

Was denn für Ableitungsmatrizen? Woher kommt die, was soll die darstellen?

23.04.2013, 13:20

Nighel123

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ich hab das hier her:

(im Gespräch ganz unten):

http://www.matheplanet.com/default3.html...> d%3D0CGgQFjAF

ich würde das jetzt so aufschreiben:

23.04.2013, 19:14

Che Netzer

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Was bitte soll denn eine Basis von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ sein? geschockt

Und im Link wird die Aufgabe mit einem anderen Definitionsbereich besprochen; dort ist er nämlich endlichdimensional und besitzt eine Basis, wie du sie wählen möchtest.

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