Sinus berechnen ohne Taschenrechner

22.04.2013, 18:20

Monday

Sinus berechnen ohne Taschenrechner

Meine Frage:
Hallo smile

Ich soll sin ((9/32)*pi) berechnen und ich weiß überhaupt nicht wie ich das machen soll.

Meine Ideen:
Ich habe schon viel versucht, komme aber auf keine Zahlen mit denen ich rechnen könnte.

Über einen Ansatz oder einen Tipp würde ich mich sehr freuen smile

Vielen Dank schon mal im voraus!

22.04.2013, 18:47

Leopold

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In welchem Zusammenhang wird dir diese Aufgabe gestellt? Denn eine simple Lösung wird es wohl nicht geben:

$\begin{eqnarray*} \sin \left( \frac{9}{32} \pi \right) = \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}}}} + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}}}} \right) \end{eqnarray*}$

22.04.2013, 18:52

Guenther H.

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Das klappt recht leicht, wenn man weiß, dass $\begin{eqnarray*} sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} = cos(\frac{\pi}{4}) \end{eqnarray*}$ ist.

Man muss dann nur das Additiontheorem sin(x + y) = cos(x)sin(y) + sin(x)cos(y) vermehrt anwenden und iterieren, wobei $\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ . Dabei sollte man immer die Gleichung für $\begin{eqnarray*} sin^{2}(x + y) \end{eqnarray*}$ auswerten. Am Ende der Iteration sollte man so etwas erhalten wie:

$\begin{eqnarray*} sin(\frac{9}{32}*\pi) = \frac{1}{2}*\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}} \end{eqnarray*}$

22.04.2013, 18:53

Mondän

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Eigentlich in gar keinem Zusammenhang, es heißt nur, dass man das berechnen soll.

Und wie kommt man auf diese Lösung?

22.04.2013, 19:00

Monday

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Für y muss man dann auch Pi/4 einsetzen, oder?

22.04.2013, 19:05

Guenther H.

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Mein erster Schritt war folgender:

$\begin{eqnarray*} sin^{2}(\frac{9}{32}*\pi) = sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{32}) = (cos(\frac{\pi}{4})*sin(\frac{\pi}{32})+sin(\frac{\pi}{4})*cos(\frac{\pi}{32}))^{2} \end{eqnarray*}$

wobei man wissen sollte:

1. $\begin{eqnarray*} sin^{2}(x) + cos^{2}(x) = 1, ~ \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} 2cos(x)sin(x) = sin(2x) \end{eqnarray*}$

Man muss hier nur konsequent Additionstheoreme verwenden.

22.04.2013, 19:24

HAL 9000

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Ein leicht anderer Weg nach Rom: Aus den bereits genannten Additionstheoremen folgt

$\begin{eqnarray*} 2\sin(x) = \pm \sqrt{2-2\cos(2x)}\qquad (1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\cos(x) = \pm \sqrt{2+2\cos(2x)}\qquad (2) \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ ist dabei so zu verstehen, dass man entsprechend der Quadrantenlage von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ das richtige der beiden Vorzeichen auswählen muss:

+ für Sinus im 1. und 2.Quadranten, für Kosinus im 1. und 4.Quadranten
- sonst

Wiederholte Nutzung von (2), und am Ende (1) oder (2) überführt jeden Wert

$\begin{eqnarray*} \sin\left( \frac{k}{2^n}\pi \right), \quad \cos\left( \frac{k}{2^n}\pi \right) \qquad k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

in so einen iterierten Wurzelterm.

22.04.2013, 19:31

Monday

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Zitat:

Original von Guenther H.
Mein erster Schritt war folgender:

$\begin{eqnarray*} sin^{2}(\frac{9}{32}*\pi) = sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{32}) = (cos(\frac{\pi}{4})*sin(\frac{\pi}{32})+sin(\frac{\pi}{4})*cos(\frac{\pi}{32}))^{2} \end{eqnarray*}$

wobei man wissen sollte:

1. $\begin{eqnarray*} sin^{2}(x) + cos^{2}(x) = 1, ~ \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} 2cos(x)sin(x) = sin(2x) \end{eqnarray*}$

Man muss hier nur konsequent Additionstheoreme verwenden.

Ich habe das jetzt mal versucht, indem ich den Bruch so aufgeteilt habe wie es im ersten Schritt steht, aber damit komme ich nicht wirklich zum Ziel,was habe ich falsch gemacht?

22.04.2013, 19:33

Mondän

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ein leicht anderer Weg nach Rom: Aus den bereits genannten Additionstheoremen folgt

$\begin{eqnarray*} 2\sin(x) = \pm \sqrt{2-2\cos(2x)}\qquad (1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\cos(x) = \pm \sqrt{2+2\cos(2x)}\qquad (2) \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ ist dabei so zu verstehen, dass man entsprechend der Quadrantenlage von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ das richtige der beiden Vorzeichen auswählen muss:

+ für Sinus im 1. und 2.Quadranten, für Kosinus im 1. und 4.Quadranten
- sonst

Wiederholte Nutzung von (2), und am Ende (1) oder (2) überführt jeden Wert

$\begin{eqnarray*} \sin\left( \frac{k}{2^n}\pi \right), \quad \cos\left( \frac{k}{2^n}\pi \right) \qquad k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

in so einen iterierten Wurzelterm.

Der Weg hört sich auch nicht schlecht an, aber was muss ich im allerersten Schritt für x einsetzen?

22.04.2013, 19:38

HAL 9000

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Na das sollte doch wohl klar sein: $\begin{eqnarray*} x = \frac{9}{32}\pi \end{eqnarray*}$

P.S.: Wenn du die Sache sofort "überblickst", kannst du natürlich gleich mit $\begin{eqnarray*} x = \frac{9}{8}\pi \end{eqnarray*}$ beginnen, und schließlich mit $\begin{eqnarray*} x = \frac{9}{16}\pi, \frac{9}{32}\pi \end{eqnarray*}$ fortsetzen, dann musst du nicht erst "rückwärts" einsetzen (wie ich es ursprünglich geplant hatte). Augenzwinkern

22.04.2013, 20:12

Monday

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Ich habe es mal versucht auszurechnen und es hat geklappt smile

ich verstehe aber noch nicht ganz wie man auf die Gleichungen (1)&(2) kommt. verwirrt

22.04.2013, 20:25

HAL 9000

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Zum wiederholten Mal: Additionstheoreme! Ist ja nun nicht so, dass die geheim sind.

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