Aufstellen zweier Funktionsgleichungen

22.04.2013, 22:16

interessent2

Aufstellen zweier Funktionsgleichungen

Zitat:

Zwei junge Pflanzen wachsen unterschiedlich schnell: Die erste nimmt jede Woche um 1,5% ihrer aktuellen Größe zu, die zweite jede Woche um 1,5% ihrer Ausgangsgröße.

Wie groß sind die beiden Pflanzen nach n Wochen, wenn die erste am Anfang 100 mm,die zweite 110 mm groß war?

Berechnen Sie beide Größen für n = 0; 10; 20; 30; 40; 50; 60.

Erst so kurz angemeldet und schon die nächste Frage:

Ich komme nicht so recht damit weiter, die Terme aufzustellen. Bei der "ersten" Gleichung denke ich, dass diese lautet:

$\begin{eqnarray*} f(n) = 100mm + 1,5mm * n \end{eqnarray*}$

Die Pflanze startet also mit 100mm Größte und nimmt für Jede Woche (n) um 1,5mm (also 1,5% der Ausgangsgröße) zu.

Bei dem anderen Fall, habe ich mir von einer anderen Aufgabe folgendes "abgeleitet":

$\begin{eqnarray*} f(n) = 110mm * (1 + \frac{1,5}{100})^{2} \end{eqnarray*}$

Wenn ich Werte einsetze für diese zweite Gleichung einsetze, dann sieht das eigentlich ganz gut aus.

Nun hab ich mir die zweite aber nicht logisch erschlossen, sondern lediglich das repdroduziert was eine andere Aufgabe mir geboten hat.

Zum einen wüsste ich gerne ob das so richtig ist, wie es oben steht (auch mit Ausdruck f(n)) und zum anderen habe ich da noch eine Aufgbae, bei ich der ich dann etwas Hilfestellung bräuchte:

Zitat:

Die Bevölkerung eines Landes, deren Größe jeweils zum Jahresanfang festgestellt wird, nimmt pro Jahr um 3% ab. Bei der wievielten Zählung wird erstmals festgestellt, dass die Größe derr Population unter 70% der derzeitigen Größe gefallen ist?

Kann mir vielleicht anhand der Aufgabe jemand erklären, wie ich einen entsprechenden Term selbst entwickle?

22.04.2013, 22:52

interessent2

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(n) = 110mm * (1 + \frac{1,5}{100})^{2} \end{eqnarray*}$

Muss natürlich nicht ^2 lauten, sondern ^n

$\begin{eqnarray*} f(n) = 110mm * (1 + \frac{1,5}{100})^{n} \end{eqnarray*}$

23.04.2013, 08:29

Bürgi

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RE: Aufstellen zweier Funktionsgleichungen
Guten Morgen!

1. Die beiden vollbiologischen Aufgaben sehen für mich richtig aus. Auch die Schreibweise geht in Ordnung, wenn für die zweite Gleichung die reparierte Fassung genommen wird.

2. Bei der zweiten Aufgabe handelt es sich um exponentielles Wachstum, welches modelliert wird durch:

http://lmgtfy.com/?q=Exponentielles+Wachstum

(siehe unter Wachstumsfunktion)

23.04.2013, 11:17

interessent2

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Nach ein bisschen rumfummeln, bin ich auf die Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(n) = n * 0,97^{t} \end{eqnarray*}$

gekommen. Setze ich Werte für diese ein so scheinen die Werte richtig zu sein (kann man ja per Hand selbst eben durchrechnen was für t=1,2,3,etc so passiert, wenn man ein "n" einsetzt).

Gibt es nun einen Weg rechnerisch die Bedingung einzubauen, festzustellen wann n = <70% (also die Bevölkerung unter 70% fällt).

Leider bin ich auch immer noch nicht klüger, was das Aufstellen solcher Gleichungen angeht. Wusste auch nicht, ob das ganze hier nicht mittels der eulerschen Zahl ausgedrückt werden muss oder geht es dabei um was völlig anderes?

Wie gesagt wurde ich vor ein paar Tagen so ziemlich ins kalte Wasser geworfen, was mein (schon immer mäßiges) Verständnis von Mathematik angeht und muss nun eben sehen wie ich damit klar komme. Daher die vielleicht etwas naiven Fragen (die auch sicher nicht die letzten waren Augenzwinkern

).

Edit: Um mal auf den Wiki-Link zurückzukommen (der imho auch ein wenig verwirrend ist, für Leute die damit z.Z. noch völlig unvertraut sind), dann ist das ja aufgestellt nach der Form:

$\begin{eqnarray*} B(t) = B(0) * b^{t} = b(0) * (1-p)^{t} = B(0) e^{lambda * t} \end{eqnarray*}$

Wobei der Teil, der mir geholfen hat der vor dem letzten Gleichheitszeichen ist und der Rest nur mehr Fragen aufgeworfen hat.

Muss ma solch eine Funktion mit der eulerschen Zahl ausdrücken oder wieso die letzte Umformung?

23.04.2013, 15:01

Bürgi

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Hallo,

das sieht doch gar nicht so schlecht aus - es gibt aber noch ein paar Baustellen.

1. f(t) bezeichnet den Funktionswert zum Zeitpunkt t.

2. Was Du mit n bezeichnest ist der Anfangswert, also in Deinem Fall f(0).

3. Die Aufgabe verlangt von Dir herauszufinden, bei welchem Zeitpunkt t das Verhältnis von aktueller Bevölkerungszahl zu anfänglicher Bevölkerungszahl kleiner als 70% ist. Als Gleichung:

$\begin{eqnarray*} f(t)=f(0) \cdot (0,97)^t~\implies~\frac{f(t)}{f(0)} = (0,97)^t < 0,7 \end{eqnarray*}$

4. Die Ungleichung durch Logarithmieren lösen.

23.04.2013, 19:29

interessent2

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Könntest du auf den letzten Punkt vll. etwas genauer eingehen, leider hab ich nicht so recht Ahnung davon, was du damit meinst die Ungleichung durch logarithmieren zu lösen?! :/

23.04.2013, 20:44

Bürgi

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Ich gehe mal davon aus, dass die Aufgabenstellung von Dir am Ende einen Zahlenwert verlangt. Dein Taschenrechner stellt die Logarithmen zur Basis 10 (mit der $\begin{eqnarray*} \boxed{log} \end{eqnarray*}$ Taste) oder die Logarithmen zur Basis e (mit der $\begin{eqnarray*} \boxed{ln} \end{eqnarray*}$ Taste) zur Verfügung. Welche Logarithmen Du benutzt ist gleichgültig.

$\begin{eqnarray*} (0,97)^t < 0,7~\implies~ t \cdot \log(0,97) < \log(0,7) \end{eqnarray*}$

Löse nach t auf.

ACHTUNG: Da log(0,97) eine negative Zahl ist, musst Du bei der Umformung besonders auf das "<"-Zeichen achten!

23.04.2013, 21:49

interessent2

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Sollte dann lauten:

$\begin{eqnarray*} t > \frac {log(0,7)} {log(0,97)} \end{eqnarray*}$

Womit die Bevölkerungszahl das erste mal bei einem Wert von größer 11,709922 Jahren unter 70% fällt. Eingesetzt in die obige Funktion ergibt dieser Wer, für eine Startbevölkerungszahl von 100 Personen auch tatsächlich die Zahl 70.

Sollte also stimmen?!

Ich darf mich dann bei dir bedanken und möchte nochmal dazu sagen, dass ich hier nicht Eindruck erwecken möchte, dass ich auf der Suche bin nach Menschen die mir Denkarbeit Arbeit abnehmen. Ich hab da nun leider grad das ein oder andere gravierende Defizit und das war wohl auch sicher nicht meine letzte Frage hier.

In diesem Sinne: Dankeschön!

01.05.2013, 22:41

interessent2

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So, analog dazu habe ich folgende Aufgaben bearbeitet:

Zitat:

Nr.1

Das Kohlenstoff Isotop- C14 zerfällt mit einer Halbwertszeit von 5730 Jahren. Stirbt ein Organismus ab, so zerfällt das in ihn gebundene Isotop C14 zu gewöhnlichem, stabilen Kohlenstoff. Wie alt ist ein Papyrus, der noch 75% des C14 Gehalts eines heute gefertigten Papyrus hat?

Nr.2

Bei einem Medikament kostet die Packungsgröÿe N1 mit 30 Tabletten 2,99 Euro und die Packungsgröße N2 mit 50 Tabletten 3,99 Euro. Wenn man mal annimmt, dass der Preis vonMedikamenten-Packungen in Abhängigkeit von der Packungsgrße als P(x) = ax + b mit zweigeeigneten Werten für a und b kalkuliert wird, wobei x die Packungsgröÿe ist, was müsste danndie Packungsgröÿe N3 mit 100 Tabletten kosten?Bemerkung: Die Rechnung wird etwas einfacher, wenn man mit Cent anstelle von Euro rechnet.In einer Online-Discount-Apotheke werden N1 für 1,98 Euro und N2 für 2,69 Euro angeboten.Was müsste dort der Preis für N3 sein?Bemerkung: Die genannten Werte sind reale aktuelle Preise eines apothekenpichtigen Medikaments;tatsächlich wird N3 regulär für 6,52 Euro und beim Discount für 4,38 Euro verkauft.

Zu Nr1:

Ich bin von der Gleichung

$\begin{eqnarray*} f(t) = f(0) * 0,5^{\frac{t}{5730}} \end{eqnarray*}$

ausgegangen und habe umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \frac{f(t)} {f(0)} = 0,5^{\frac{t}{5730}} = 0,75<br /> <br /> ln(0,75) = \frac{t}{5730} * ln(0,5)<br /> <br /> t = \frac{ln(0,75) * 5730}{ln(0,5)} = 2378,16 \end{eqnarray*}$

Sollte so stimmen?!

Bei der zweiten habe ich mit den gegeben Werten die Steigung berechnet:

(3,99 - 2,99) : (50 - 30) = 0,05

und das für a eingesetzt; zusammen mit den Werten der N1-Packung (bzw N2) komme ich auf einen "Fixzuschlag von 1,49 und abschließend zur Gleichung:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 0,05x + 1,49 = 0,05 * 100 + 1,49 = 6,49 \end{eqnarray*}$

Müsste auch so hinhauen?! Kann man das von der Form so lassen?

Zur Nr1 habe ich noch einen zweiten Lösungsweg mit der Formel:

$\begin{eqnarray*} N(t) = N(0) * e^{lambda * t} \end{eqnarray*}$

Wobei man dann eben e^(lambda * t) gleich 0,5 setzen kann, um für 50% bei t den Wert 5730 einsetzen zu können. Das dann nach lambda auflösen und das t für die verlangten 75% ausrechnen. Kommt fast der gleiche Wert raus (2379,xx).

Ist das beides legitim oder sollte man besser die eine oder andere Lösungsart bevorzugen?

02.05.2013, 14:09

Bürgi

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Hallo,

das war jetzt echt knapp: Wenn Du eine neue Frage hast, dann tu Dir einen Gefallen und öffne einen neuen Thread. (Ich habe wirklich nur durch Zufall gesehen, dass Du den (eigentlich abgeschlossenen) Thread weiter bearbeitest.)

1. Deine Rechnungen sind alle richtig.

2.

Zitat:

Ist das beides legitim oder sollte man besser die eine oder andere Lösungsart bevorzugen?

Du hast ja selbst bemerkt, dass es Unterschiede gibt. Je höher die relative Änderungsrate ist, desto größer werden die Abweichungen. Wenn keine stetiges Wachstum vorliegt (wenn sich die unabhängige Variable in größeren Stufen ändert), dann würde ich auf die e-Funktion verzichten, auch wenn die Rechnungen viel einfacher sind.

02.05.2013, 18:36

interessent2

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Danke für deine Antwort erst einmal!

Bei'm nächsten mal dann auch mit einem neuen Thread Augenzwinkern

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