Orientierbarkeit

22.04.2013, 21:45	nicholas	Auf diesen Beitrag antworten »
Orientierbarkeit Meine Frage: Zeigen Sie: 1) Sind M und N nicht orientierbare Untermannigfaltigkeiten eines affines Raumes, so ist ihr Produkt nicht orientierbar. 2) Ist M eine Untermannigfaltigkeit eines affinen Raumes, so ist ist das Tangentialbündel T(M) orientierbar. Meine Ideen: Hallo! Wir haben Obkt wie folgt definiert: Eine Mannigfaltigkeit M heißt orientierbar, wenn jeder Punkt eine Umgebung U besitzt und es gibt stetige Vektorfelder $\begin{eqnarray} v_{1},...,v_{n} \end{eqnarray}$ auf U, sodass an jeder Stelle $\begin{eqnarray} v_{1}(x),...v_{n}(x) \end{eqnarray}$ eine orientierte Basis des Tangentialraumes an x ist und diese gleich orientiert sind. Eine alternative Definiton, die in den Beweisen benutzt wird, die ich gesehen habe, ist, dass die Ableitungen sämtlicher Kartenwechsel eines geeigneten Atlas positive Determinante haben. Allerdings weiß ich nicht, wie ich diese Äquivalenz zeige. Vor allem haben wir wirkliche Karten noch garnicht eingeführt. Dann habe ich noch was von Stiefel-Whitney-Klassen gelesen, aber da hab ich nichts von verstanden. Es muss doch auch möglich sein, dies elementar mit unserer Definition zu zeigen... 1) Es ist $\begin{eqnarray} T_{(x,y}(M \times N) = T_{x} (M) \times T_{y} (N) \end{eqnarray}$ . Nehme ich nun einmal an, dass das Produkt orientierbar ist. Dann gibt es $\begin{eqnarray} \forall x \in M, y \in N \end{eqnarray}$ eine Umgebung U von $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ und Vektorfelder $\begin{eqnarray} v_{1},...,v_{m}, v_{m+1},...,v_{n+m} \end{eqnarray}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray} (x',y') \in U \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_{1}(x',y'),...,v_{n+m}(x',y') \end{eqnarray}$ orientierte Basis des Tangentialraumes ist. Nun ist nach Definition der Produkttopologie eine Produktumgebung $\begin{eqnarray} U_{1}\times U_{2} \subset U \end{eqnarray}$ und ich will nun stetige Vektorfelder auf $\begin{eqnarray} U_{1} \end{eqnarray}$ finden, sodass sie überall gleich orientierte Basen der Tangentialräume liefern. Wie stelle ich das an? Kann ich überhaupt annehmen, dass $\begin{eqnarray} v_{1},...,v_{m} \end{eqnarray}$ immer im Tangentialraum von M liegen? Und wenn das so wäre, kann ich die zweite Koordinate einfach beliebig wählen? Aber warum wären sie dann noch gleich orientiert? Das heißt doch, dass die Basiswechselmatrizen alle positive Determinante haben. Wenn ich das von den größeren Matrizen weiß, warum auch für die kleineren? 2) Angenommen, ich hätte einen vernünftigen Atlas für das Tangentialbündel, der von einem Atlas von M herkommt. Ist $\begin{eqnarray} \varphi: U \to V \end{eqnarray}$ eine Karte für M, so ist doch $\begin{eqnarray} T(\varphi): T(U) \to V \times \mathbb{R}^{m}, (x,v) \mapsto ( \varphi(x), ( T_{x} \varphi)(v)) \end{eqnarray}$ eine Karte für das Tangentialbündel. Wie finde ich damit solche stetigen Vektorfelder auf dem Tangentialbündel?

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