Frage zu einer komplexen Exponentialfunktion

23.04.2013, 09:58	Ching Huang	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu einer komplexen Exponentialfunktion Meine Frage: Hallo Forumsmitglieder, ich habe eine Frage zu der Aufgabe $\begin{eqnarray} \| e^{ix} -1 \| \end{eqnarray}$ die Antwort lautet: $\begin{eqnarray} \| \cos(x) + i \cdot \sin(x) - 1 \| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{ (\cos(x) -1)^{2} + \sin(x)^{2} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{ (\cos(x)^{2} - 2 \cdot \cos(x) + 1 + \sin(x)^{2} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{ 2 (1 - \cos(x) } \end{eqnarray}$ Meine beiden Fragen wären: Wieso muss ich $\begin{eqnarray} (\cos(x) -1)^{2} \end{eqnarray}$ quasi zusammen in deiner Klammer betrachten und ausmultiplizieren? Wieso nicht $\begin{eqnarray} (\cos(x) -1 + \sin(x))^{2} \end{eqnarray}$ ? Durch welche Rechenregel gelange ich zu dem letzten Ausdruck $\begin{eqnarray} \sqrt{ 2 * (1 - \cos(x) } \end{eqnarray}$ ? Falls jemand von euch eine Idee hat, wäre ich über eine Antwort sehr dankbar. Gruß Ching Meine Ideen:* Lösungsweg beschrieben, jedoch nichtz ganz verstanden. Edit lgrizu: Latex-tags ergänzt
23.04.2013, 17:28	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum ersten: Weil der Betrag einer Komplexen Zahl a+ib nun einmal $\begin{eqnarray} \sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray}$ ist und nicht $\begin{eqnarray} \sqrt{(a+b)^2} \end{eqnarray}$ Zum zweiten: Da wurde der trigonometrische Pythagoras angewendet. Es ist $\begin{eqnarray} cos^2(x)+sin^2(x)=1 \end{eqnarray}$
23.04.2013, 21:34	Ching	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Helferlein, danke für deine schnelle Antwort. Also wäre der nächste Schritt von $\begin{eqnarray} \sqrt{ (\cos(x)^{2} - 2 \cdot \cos(x) + 1 + \sin(x)^{2} } \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} cos^2(x)+sin^2(x)=1 \end{eqnarray}$ der gewesen $\begin{eqnarray} \sqrt{ ( - 2 \cdot \cos(x) + 1 + 1 } \end{eqnarray}$ Und dann nur noch ausklammern. Dabei kenne ich den trigonometrischen Pythagoras. Ich habe es völlig übersehen. Weil der Betrag einer Komplexen Zahl a+ib nun einmal $\begin{eqnarray} \sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray}$ ist und nicht $\begin{eqnarray} \sqrt{(a+b)^2} \end{eqnarray}$ Ja, genau. Aber deswegen wundert es mich, dass in dem Ausdruck $\begin{eqnarray} \sqrt{ (\cos(x) -1)^{2} + \sin(x)^{2} } \end{eqnarray}$ enthalten ist $\begin{eqnarray} (\cos(x) -1)^{2} \end{eqnarray}$ . Wieso ist der Cosinuns mit der Eins in der Klammer? Gruß Ching
23.04.2013, 21:40	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Was wundert dich daran? Das ist doch der Realteil der Zahl. Alles, was nicht mit i multipliziert wird.
25.04.2013, 19:06	Ching	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Helferlein, wieso lautet es denn nicht einfach $\begin{eqnarray} \sqrt{ (\cos(x) ^{2} - 1^{2} + \sin(x)^{2} } \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \sqrt{ \cos(x) ^{2} + (\sin(x)-1)^{2} } \end{eqnarray}$
25.04.2013, 23:17	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu einer komplexen Exponentialfunktion Was ist deiner Meinung nach der Realteil und was der Imaginärteil von $\begin{eqnarray} \cos(x) + i \cdot \sin(x) - 1 \end{eqnarray}$ ? Denk dran, dass alles was mit i multipliziert wird zum Imaginärteil gehört und alles andere zum Realteil. Danach schaust Du Dir die Definition des Betrags einer komplexen Zahl an und wenn es dann immer noch nicht klick gemacht hat, weiss ich auch nicht.
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