Konvergenz in Banachraum

23.04.2013, 14:09

Sendoh

Konvergenz in Banachraum

Meine Frage:
Seien X ein Banachraum und $\begin{eqnarray*} \left\{x_n\right\}_{n=1}^{\infty} \end{eqnarray*}$ eine Folge von Vektoren aus X. Beweise folgendes:

gilt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} ||x_n||<\infty \end{eqnarray*}$ so ist die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \end{eqnarray*}$ konvergent.

Meine Ideen:
Ich behaupte, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n \end{eqnarray*}$ eine Cauchy-Folge ist.Da X vollständig, folgt die Konvergenz.

Nachzuweisen ist also: $\begin{eqnarray*} ||x_k-x_m||\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k,m\rightarrow \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||x_k-x_m||=||x_k+(-x_m)||\leq||x_k||+||-x_m||=\underbrace{||x_k||}_{\stackrel{k\rightarrow \infty}{\longrightarrow 0}}+\underbrace{||x_m||}_{\stackrel{m\rightarrow \infty}{\longrightarrow 0}}\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

weil aus $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} ||x_n||<\infty \end{eqnarray*}$ folgt, dass ||x_n|| Nullfolge ist.

23.04.2013, 15:32

Sendoh

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Ups, ich zeige ja gar nicht, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}x_n \end{eqnarray*}$ Cauchy-Folge ist. Es müsste $\begin{eqnarray*} ||\sum_{n=1}^k x_n-\sum_{n=1}^m x_n||\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k,m\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ lauten.

Ich denke nochmal darüber nach, aber begrüße trotzdem schonmal Anregungen.

23.04.2013, 15:59

Sendoh

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Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} ||x_n|| \end{eqnarray*}$ Cauchyfolge ist, d.h. für $\begin{eqnarray*} m>k\geq n_0: \sum\limits_{n=1}^{m} ||x_n||-\sum\limits_{n=1}^{k} ||x_n||= \sum\limits_{n=k+1}^m ||x_n||<\varepsilon \end{eqnarray*}$

Mit der Dreiecksungleichung folgt:

$\begin{eqnarray*} ||\sum\limits_{n=1}^m x_n-\sum\limits_{n=1}^k x_n||=||\sum\limits_{n=k+1}^mx_n||\leq\sum\limits_{n=k+1}^m ||x_n||<\varepsilon \end{eqnarray*}$

Somit ist auch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n \end{eqnarray*}$ Cauchyfolge und, wie bereits erwähnt, konvergent, da X vollständig.

23.04.2013, 16:27

RavenOnJ

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Du kannst doch so argumentieren, dass die Norm $\begin{eqnarray*} \Vert x\Vert\ge 0, \forall x \in X \end{eqnarray*}$ . Die Folge der Partialsummen ist also monoton steigend. Da sie außerdem nach oben beschränkt ist, muss sie konvergieren.

23.04.2013, 17:44

Sendoh

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Eine wesentlich elegantere Argumentation als die meine. Danke hierfür Augenzwinkern

23.04.2013, 19:25

Che Netzer

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Bedank dich nicht zu früh.
Dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\lVert x_n\rVert \end{eqnarray*}$ konvegriert, ist doch die Voraussetzung, das ist nicht zu zeigen.
Und was stellst du dir unter einer monoton steigenden Folge in einem Banach-Raum vor?

23.04.2013, 21:00

Sendoh

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Zitat:

Original von Che Netzer
Bedank dich nicht zu früh.
Dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\lVert x_n\rVert \end{eqnarray*}$ konvegriert, ist doch die Voraussetzung, das ist nicht zu zeigen.
Und was stellst du dir unter einer monoton steigenden Folge in einem Banach-Raum vor?

So wie ich das verstehe, bezieht sich das auf RavenOnJ's Antwort und mein danach folgender Post. Deshalb zuerst eine kurze Zwischenfrage, da noch nicht offiziell bestätigt oder abgewiesen: Ist mein Lösungsvorschlag in Ordnung?

Ich hatte das folgendermaßen verstanden: Konvergenz in einem normierten Raum bedeutet doch Konvergenz bzgl. der Norm.

$\begin{eqnarray*} a_n=||S_n|| \end{eqnarray*}$ (S-n bezeichne die n-te Partialsumme) wäre dann eine monoton steigende Folge in IR, die durch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n}||x_k||<\infty \end{eqnarray*}$ nach oben abgeschätzt werden kann.

23.04.2013, 21:23

Che Netzer

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Zitat:

Original von Sendoh
So wie ich das verstehe, bezieht sich das auf RavenOnJ's Antwort und mein danach folgender Post.

Genau.

Zitat:

Deshalb zuerst eine kurze Zwischenfrage, da noch nicht offiziell bestätigt oder abgewiesen: Ist mein Lösungsvorschlag in Ordnung?

Ja, deine Lösung mit der Dreiecksungleichung und Cauchy-Folgen ist wunderbar.
Übrigens gilt auch folgende Umkehrung: Wenn diese Implikation der Reihenkonvergenzen in einem normierten Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gilt, dann ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ein Banach-Raum.

Zitat:

Ich hatte das folgendermaßen verstanden: Konvergenz in einem normierten Raum bedeutet doch Konvergenz bzgl. der Norm.

Ja, genau. Die Folge $\begin{eqnarray*} (y_n)_n\subset X \end{eqnarray*}$ konvergiert genau dann gegen $\begin{eqnarray*} y\in X \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \lVert y_n-y\rVert\to0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a_n=||S_n|| \end{eqnarray*}$ (S-n bezeichne die n-te Partialsumme) wäre dann eine monoton steigende Folge in IR

Diese Folge muss gar nicht monoton sein, betrachte z.B. $\begin{eqnarray*} x_n:=(-1)^nx_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_0\in X \end{eqnarray*}$ .
Aber auch wenn die Norm der Partialsummen konvergiert, heißt das noch lange nicht, dass die Partialsummen konvergieren (es sei denn, der Grenzwert ist Null).
Da kannst du z.B. $\begin{eqnarray*} X=\ell_\infty \end{eqnarray*}$ wählen und $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ als die Folge definieren, die Eins an der Stelle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und Null sonst ist.

23.04.2013, 22:11

Sendoh

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Wir betrachten also den VR $\begin{eqnarray*} \ell_ \infty=\left\{(x_k)_{k=1}^{\infty}:\text{sup}|x_k|<\infty\right\} \end{eqnarray*}$ mit der Norm $\begin{eqnarray*} ||x||_{\infty}=\text{sup}|x_k| \end{eqnarray*}$ .

Wir definieren eine Folge $\begin{eqnarray*} x_n=\left((x_k)_{k=1}^{\infty}\right)_n=\begin{cases}1 & k=n \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ Das sieht zwar hässlich aus, aber im Moment fällt mir keine schönere Darstellungsweise ein.

Nun sei $\begin{eqnarray*} S_N=\sum\limits_{n=1}^{N} \left((x_k)_{k=1}^{\infty}\right)_n \end{eqnarray*}$

Die Addition sollte komponentenweise definiert sein, also: $\begin{eqnarray*} S_N=\left((y_k)_{k=1}^{\infty}\right)=\begin{cases} 1 & k\leq N \\ 0 & \text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Es gilt dann: $\begin{eqnarray*} ||S_n||_{\infty}=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\rightarrow\infty \end{eqnarray*}$ ,da ja die Komponenten nur aus Nullen und Einsen bestehen.

Aber müsste $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ nicht gegen $\begin{eqnarray*} (1,1,1,...) \end{eqnarray*}$ konvergieren für $\begin{eqnarray*} n\rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ ? Dieser Einsvektor ist ja auch ein Element von $\begin{eqnarray*} \ell_\infty \end{eqnarray*}$

23.04.2013, 22:16

Che Netzer

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Zitat:

Original von Sendoh
Wir definieren eine Folge $\begin{eqnarray*} x_n=\left((x_k)_{k=1}^{\infty}\right)_n=\begin{cases}1 & k=n \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ Das sieht zwar hässlich aus, aber im Moment fällt mir keine schönere Darstellungsweise ein.

$\begin{eqnarray*} x_n=(\delta_{nk})_k \end{eqnarray*}$

Zitat:

Es gilt dann: $\begin{eqnarray*} ||S_n||_{\infty}=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\rightarrow\infty \end{eqnarray*}$ ,da ja die Komponenten nur aus Nullen und Einsen bestehen.

Nicht nur für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Aber müsste $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ nicht gegen $\begin{eqnarray*} (1,1,1,...) \end{eqnarray*}$ konvergieren für $\begin{eqnarray*} n\rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ ?

Könnte man meinen. Aber setz mal $\begin{eqnarray*} x=(1,1,\dotsc) \end{eqnarray*}$ und bestimme $\begin{eqnarray*} \lVert S_n-x\rVert \end{eqnarray*}$ .

23.04.2013, 22:49

Sendoh

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} x_n=(\delta_{nk})_k \end{eqnarray*}$

Achja, das Kroneckerdelta.

Zitat:

Nicht nur für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ .

Das gilt für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

Zitat:

Könnte man meinen. Aber setz mal $\begin{eqnarray*} x=(1,1,\dotsc) \end{eqnarray*}$ und bestimme $\begin{eqnarray*} \lVert S_n-x\rVert \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} ||S_N-x||_{\infty}=||\left((y_k)_{k=1}^{\infty}\right)_N||_{\infty} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \left((y_k)_{k=1}^{\infty}\right)_N=\begin{cases} -1 & k>N \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Das heißt, die Norm ist gleich 1 für festes N. Aber der Grenzwertübergang macht mir gerade Probleme. Gilt das dann auch noch für N gegen unendlich?

23.04.2013, 22:52

Che Netzer

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Zitat:

Original von Sendoh
Das heißt, die Norm ist gleich 1 für festes N. Aber der Grenzwertübergang macht mir gerade Probleme. Gilt das dann auch noch für N gegen unendlich?

Dir wird doch wohl noch $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}1=1 \end{eqnarray*}$ klar sein, oder? Augenzwinkern

Diese Folge hat also einen konstanten Abstand von Eins zum vermeintlichen Grenzwert. Wenn man sich jetzt noch ansieht, ob die Folge eine Cauchy-Folge ist, stellt man fest, dass sie überhaupt nicht konvergiert. (die einzelnen $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ konvergieren übrigens auch nicht, nur schwach)

23.04.2013, 22:53

RavenOnJ

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Zitat:

Ich habe nicht von einer monoton steigenden Folge im Banachraum X gesprochen, sondern von der monoton steigenden Folge der Partialsummen der Reihe aus den Normen der Elemente der Banachraumfolge. Sollte eigentlich klar sein. Und warum ist das nicht zu beweisen? Eine beschränkte Folge muss nicht konvergent sein und es war nur vorausgesetzt, dass die Reihe nach oben beschränkt ist.

23.04.2013, 22:58

Sendoh

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Zitat:

Dir wird doch wohl noch $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}1=1 \end{eqnarray*}$ klar sein, oder? Augenzwinkern

Natürlich, totaler Blackout Big Laugh

Vielen Dank für deine Hilfe und Geduld. Das Gegenbeispiel ist auch klug und einfach gewählt.

23.04.2013, 23:05

RavenOnJ

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RE: Konvergenz in Banachraum
Ich hatte übrigens folgendes gelesen:

Zitat:

Original von Sendoh
Meine Frage:
Seien X ein Banachraum und $\begin{eqnarray*} \left\{x_n\right\}_{n=1}^{\infty} \end{eqnarray*}$ eine Folge von Vektoren aus X. Beweise folgendes:

gilt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} ||x_n||<\infty \end{eqnarray*}$ so ist die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \end{eqnarray*}$ konvergent.

Die zweite Summe hatte ich mit der ersten Summe identifiziert, da nichts anderes erwähnt war, insbesondere nicht, dass es sich um $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n \end{eqnarray*}$ handeln sollte. Auch wenn man sich das denken konnte, da die Aufgabe sonst zu einfach war.

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