Variablentransformation in Gaußverteilung

23.04.2013, 14:50	Cpt. Challenger	Auf diesen Beitrag antworten »
Variablentransformation in Gaußverteilung Moin, ich sitze vor folgender Aufgabe: X > 0 sei eine Zufallsvariable mit der Eigenschafft, dass $\begin{eqnarray} Y = \ln X \end{eqnarray}$ gaußverteilt ist mit dem Mittelwert $\begin{eqnarray} \overline{y}=\ln x_0 \end{eqnarray}$ und der Varianz $\begin{eqnarray} \sigma^2 \end{eqnarray}$ . (i) Wegen der Monotonie der Logarithmusfunktion gibt es einen einfachen Zusammenhang zwischen den Verteilungsfunktionen von Y und X. Was folgt daraus für die Wahrscheinlichkeitsdichten? Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte p(x) an, nach der X verteilt ist. (ii) Wie groß ist der Erwartungswert $\begin{eqnarray} \overline{x} \end{eqnarray}$ von X? Meine Ideen: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> f(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \cdot \exp\left(-\frac{1}{2} \cdot \frac{(y - \overline{y})^2}{\sigma^2}\right)<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Verteilungsfunktion: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> P(Y \leq y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \cdot \int_{-\infty}^{y}{ \exp\left(-\frac{1}{2} \cdot \frac{(t - \overline{y})^2}{\sigma^2}\right) \mathrm{d}t}<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Verteilungsfunktion mit x schreiben: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> P(Y \leq y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_x} \cdot \int_{-\infty}^{\ln x}\exp\left(-\frac{1}{2} \cdot \frac{(t - \ln x_0)^2}{\sigma^2}\right) \mathrm{d}t<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Damit ich das Integral von 0 bis x schreiben kann, ersetzte ich $\begin{eqnarray} t = ln(v) \end{eqnarray}$ und erhalte: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \label{eq:integral}<br /> P(X \leq x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{v} \cdot \exp\left(-\frac{1}{2} \cdot \frac{(v - \overline{x})^2}{\sigma_x^2}\right) \mathrm{d}v =?<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Den einfachen Zusammenhang habe ich noch nicht gesehen, ich kann auch das Integral nicht lösen. Habe das mit Produktintegration versucht. Das Integral wird auch nicht einfacher, wenn ich zur Standardnormalverteilung übergehe. Was mir aber bisher noch aufgefallen ist, war folgendens: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \label{eq:dichte}<br /> \exp\left(-\frac{1}{2} \cdot y^2\right) = \exp\left(-\frac{1}{2} \cdot (\ln x)^2\right) = \left(\left[\exp\left(\ln x\right)\right]^{\ln x}\right)^{-1/2} = x^{-\frac{1}{2} \cdot \ln x}<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Muss ich das benutzten? Ich soll ja aus der Verteilungsfunktion auf die Dichtefunktion schließen. EDIT 15:00 Uhr: Hurra, ich habe die Dichtefunktion ja schon hingeschriegen... Obiges ist ja ein Zusammenhang zwischen den Dichten. Damit konnte ich auch das Integral vom Erwartungswert nicht lösen. Denke ich zu kompliziert? Erwartungswert: $\begin{eqnarray} \overline{x} = \int_{0}^{\infty} v \cdot v^{-\frac{1}{2}\ln v} \mathrm{d}v \end{eqnarray}$ Viele Grüße Robert Zweiten Beitrag hier reinkopiert und gelöscht. Steffen Ich habe jetzt meine Gedanken noch mal neu geordnet. Gegeben: $\begin{eqnarray} g(y) \end{eqnarray}$ ist die Wahrscheinlichkeitsdichte von Y. Y ist gaußverteilt. $\begin{eqnarray} Y = \ln(X) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \overline{y} = \ln(x_0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F_X \end{eqnarray}$ sei die Verteilungsfunktion von X. Gesucht: $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ ist die Wahrscheinlichkeitsdichte von X. Die Verteilungsfunktion kann man dann so aufschreiben: $\begin{eqnarray} F_X(x) = \int_{-\infty}^{\ln{x}}g(y)\mathrm{d}y = \int_{0}^{x} g(\ln(z)) \cdot \frac{1}{z} \mathrm{d}z \end{eqnarray}$ Im letzten Schritt habe ich die Substitution $\begin{eqnarray} z=\exp{y} \end{eqnarray}$ vorgenommen. Der Integrand im ganz rechten Term ist dann die Verteilungsdichte von X. Wenn man für g(y) die Gaußverteilung einsetzt, dann ergibt sich: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \cdot \frac{1}{x} \cdot \exp\left[{-\frac{1}{2}\left(\frac{\ln(x) - \ln(x_0)}{\sigma}\right)^2}\right] \end{eqnarray}$ Nun zum Erwartungswert von X. Ich habe das Integral _ $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty} x \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \cdot \exp\left[{-\frac{1}{2}\left(\frac{\ln(x)-\ln(x_0)}{\sigma}\right)^2}\right]\mathrm{d}x \end{eqnarray}$ zu lösen. Schön ist ja, dass sich das x mit dem 1/x kürzt. Ich habe die sehr starke Vermutung, dass dieses Integral 1 ergibt. Kann das aber leider nicht beweisen.

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