Analysis 1 Übungsaufgabe, Beweis

23.04.2013, 18:00	Vitellius	Auf diesen Beitrag antworten »
Analysis 1 Übungsaufgabe, Beweis Meine Frage: Hallo Ich habe hier eine Aufgabe von einem Analysis 1 Übungsblatt bei der ich Hilfe brauche. Wenn: $\begin{eqnarray} x + x^{-1} \in \mathbb Z,x\in \mathbb R \end{eqnarray}$ Dann : $\begin{eqnarray} x^n + x^{-n} \in \mathbb Z, n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Zum Beweis versuchte Ich vollständige Induktion. Für n=1 besteht kein Unterschied zum ersten Term, wenn dieser also eine ganze Zahl ist so gilt das auch für den zweiten. Im nächsten Schritt wollte ich die Potenzen mit Hilfe dieser Formel in Summen zerlegen: $\begin{eqnarray} x^{n} =\sum\limits_{k=1}^b x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b=x^{n-1} \end{eqnarray}$ Dadurch hätte man Paare von $\begin{eqnarray} x+x^{-1} \end{eqnarray}$ bilden können die laut Vorraussetzung ganzzahlig sind. Mir ist jedoch schnell aufgefallen, dass dieser Ansatz nicht funktioniert weil der obere Summationsindex in den meisten Fällen größer wäre als der untere. Außerdem müsste der obere Summationsindex auch ganzzahlig sein damit die Gleichung stimmt. Ein anderer Ansatz ist mir bisher nicht eingefallen. Ich hoffe das mir jemand helfen kann.
23.04.2013, 18:58	watcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, mein Vorschlag: (Polynom)Division $\begin{eqnarray} x^n+x^{-n} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} x+x^{-1} \end{eqnarray}$ und schauen was passiert.
25.04.2013, 12:24	Vitellius	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht bin ich einfach zu dumm, aber ich habe keine Ahnung wie mir das helfen soll. $\begin{eqnarray} x^{n-1} Rest: x^{-n} - x^{n-2} \end{eqnarray}$
25.04.2013, 13:13	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ihr die binomische Formel für $\begin{eqnarray} (a+b)^n \end{eqnarray}$ hattet, würde ich es damit versuchen.
25.04.2013, 16:57	Vitellius	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre das so richtig? Der Inhalt der Klammer ist nach Vorraussetzung eine ganze Zahl. Eine ganze Zahl mit sich selbst multipliziert ergiebt wieder eine ganze Zahl. Dann muss noch gezeigt werden, dass der Rest der hinten abgezogen wird auch eine ganze Zahl ist. Dieser besteht aus Paaren der Form a^(n-1) + a^-(n-1) mit den Binomialkoeffizienten als Faktoren. Ich würde dann vermuten, dass diese Paare auch ganze Zahlen sind, doch wie beweise ich das? $\begin{eqnarray} (a+\frac{1}{a})^n - \sum\limits_{i=1}^{n-1}\begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} a^{n-i}(\frac{1}{a})^i \end{eqnarray}$

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