Doppelintegral

23.04.2013, 18:47

Karotte

Doppelintegral

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \int_0^4 2xy dxdy \end{eqnarray*}$

Bei einem Doppelintegral gehe ich von innen nach außen vor, oder?
Also erstmal rechne ich das Integral von 0 bis 4 nach x aus, weil das dx vor dem dy steht, oder?
Also die Reihenfolge ist hier schon wichtig?

Wenn ich nun die Stammfunktion bilde, muss da dann etwas von x UND y stehen?
Weil wenn ich ableite soll doch 2xy rauskommen oder?

Aber irgendwie dachte ich, dass y ist eine Konstante und man kann es weglassen, oder gilt das nur beim ableiten?

Ich bin hier gerade etwas verwirrt.

23.04.2013, 18:58

Kasen75

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RE: Doppelintegral
Hallo!

Zitat:

Original von Karotte

Bei einem Doppelintegral gehe ich von innen nach außen vor, oder?
Also erstmal rechne ich das Integral von 0 bis 4 nach x aus, weil das dx vor dem dy steht, oder?
Also die Reihenfolge ist hier schon wichtig?

Das ist richtig.

Zitat:

Original von Karotte
Wenn ich nun die Stammfunktion bilde, muss da dann etwas von x UND y stehen?
Weil wenn ich ableite soll doch 2xy rauskommen oder?

Du hast ja konkrete Grenzen. Somit kommt wenn du nach y und x integriert hast eine konkrete Zahl heraus.

Zitat:

Original von Karotte
Aber irgendwie dachte ich, dass y ist eine Konstante und man kann es weglassen, oder gilt das nur beim ableiten?

Wenn du nach x integrierst, dann wäre y Faktor. Diesen kannst du nicht einfach unter den Tisch fallen lassen. Diesen Faktor so lassen wie er ist. Den brauchst du ja noch, um danach nach y zu integrieren.

Grüße.

23.04.2013, 19:18

Karotte

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RE: Doppelintegral
Hallo Kasen und vielen Dank für deine Antwort smile

Also für obiges Beispiel versuche ich nun die Stammfunktion zu bilden.

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2xy<br /> F(x) = x^2y \end{eqnarray*}$

Nun setzte ich die Grenzen ein:

16y - 0 = 16y

Das wäre nun das "innere" Integral, oder?

Nun muss ich das Ergebnis des inneren Integrals nochmal nach y integrieren?

$\begin{eqnarray*} f(y) = 16y<br /> F(y) = 8y^2 \end{eqnarray*}$

Grenzen einsetzen:

32 - 0 = 32

Also ist das Ergebnis des Doppelintegrals 32?

War das so richtig?

23.04.2013, 20:44

Kasen75

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Hallo,

deine Rechnung und dein Ergebnis ist richtig. Freude

Ich würde es nur anders aufschreiben:

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! \int_0^4 \! 2xy \, dx \, dy \end{eqnarray*}$

Da die Variable y eine Konstante ist, bezüglich der Aufleitung nach x, kann man sie vor das innere Integral schreiben.

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! y \int_0^4 \! 2x \, dx \, dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int_0^2 \! y \cdot \left[x^2 \right]_0^4 \, dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int_0^2 \! y \cdot 16 \, dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =16 \int_0^2 \! y \, dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =16 \left[\frac{1}{2} \cdot y^2 \right]_0^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =16 \cdot 2=32 \end{eqnarray*}$

23.04.2013, 20:47

Karotte

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Dankeschön Kasen, so mache ich das dann ab jetzt auch smile

24.04.2013, 00:46

Kasen75

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Gerne. Freut mich, dass alles klar ist.

Grüße. Wink

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