Spatzen und Masten

23.04.2013, 19:11

lagrange92

Spatzen und Masten

Meine Frage:
Ich möchte folgendes bearbeiten:
Man verteile $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ Spatzen auf m Telegraphenleitungen. Alle Konfigurationen sind gleichwahrscheinlich. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit , dass auf j Leitungen keine Spatzen sitzen für $\begin{eqnarray*} 0 \leq j\leq m-1 \end{eqnarray*}$ . Geben sie den zur Lösung benutzten Wahrscheilichkeitsraum an.

Meine Ideen:
Ich habe verschidene Ideen, doch fehlt mir noch etwas der Zusammenhang:
Also ich würde erstmal von einem Laplace- Ansatz ausgehen. Dann würde ich weiter das Problem der Verteilung auf die Leitungen durch ein Ziehen ohne Reihenfolge mit Zurücklegen betrachten, was die Verwendung des folgenden Binomialkoeefizienten $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+k-1 \\ k\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nahe legt. Hier wäre n die Anzahl der Spatzen und, wenn man von n Ziehungen (Anzahl der Spatzen ausgeht) weiter k=n. Somit wäre $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+k-1 \\ k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2n-1 \\ n\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Kardinalität des Ergebnisraumes. Nach Laplace würde ich günstige durch mögliche Ansetzen habe abllerdings ein Problem damit die restliche Kardinalitäten X von $\begin{eqnarray*} \frac {X}{\begin{pmatrix} 2n-1 \\ n\end{pmatrix}} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen,oder?
Wie würde ich jetzt den Wahrscheinlichkeitsraum aufstellen?

24.04.2013, 12:00

Math1986

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RE: Spatzen und Masten
Bis dahin sieht es richtig aus. Die Kardinalität der günstigen Menge erhältst du dadurch, dass von den m Masten j Masten leer bleiben, die rechnung ist die selbe.

25.04.2013, 09:58

lagrange92

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RE: Spatzen und Masten
Hier bin ich so weit fertig muss aber noch den Wahrscheinlichkeitsraum angeben, da ich ja Ziehen ohne Reihenfolge mit Zurücklegen betrachte, habe ich mir das Folgendes gedacht:
$\begin{eqnarray*} \Omega =\left\{ (\omega_1,...,\omega_n) \in M^n |M=\left\{ 1,...,m\right\} \wedge \omega_1 \leq \omega_2 \leq... \leq \omega_n \right\} \end{eqnarray*}$ .
Hier ist jetzt auch meine Frage, muss sich die Menge für das kartesische Produkt von M doch auf die Leitungen beziehen oder die Spatzen?

25.04.2013, 11:19

Huggy

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RE: Spatzen und Masten

Zitat:

Original von lagrange92
Also ich würde erstmal von einem Laplace- Ansatz ausgehen. Dann würde ich weiter das Problem der Verteilung auf die Leitungen durch ein Ziehen ohne Reihenfolge mit Zurücklegen betrachten, was die Verwendung des folgenden Binomialkoeefizienten $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+k-1 \\ k\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nahe legt. Hier wäre n die Anzahl der Spatzen und, wenn man von n Ziehungen (Anzahl der Spatzen ausgeht) weiter k=n. Somit wäre $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+k-1 \\ k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2n-1 \\ n\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Kardinalität des Ergebnisraumes.

Mir scheint, ich verstehe da etwas völlig falsch. Sollte die Kardinalität des Ergebnisraums tatsächlich von der Zahl m der Leitungen unabhängig sein?

Und wenn man das Modell des Ziehens mit Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge (entspricht nicht unterscheidbaren Spatzen) betrachtet, dann hat man doch keine Laplacewahrscheinlichkeit. Für eine Laplacewahrscheinlichkeit muss man unterscheidbare Spatzen betrachten. Dann kann jeder der n Spatzen auf jeder der m Leitungen sitzen. Die Kardinalität des Ergebnisraums ist dann $\begin{eqnarray*} m^n \end{eqnarray*}$ .

25.04.2013, 12:25

lagrange92

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RE: Spatzen und Masten
Ich habe es am Anfang falsch formuliert, es ging im Ende so, dass jeder Spatz aus den m Leitungen eine zieht, also wird n-mal gezogen mit Zurücklegen. Weiter haben wir somit eine Stichprobe der Länge n aus $\begin{eqnarray*} M=\left\{ 1,..,m\right\} \end{eqnarray*}$ , der benötigte Binmoilakoeffizient hätte dann die Form:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} m+n-1 \\ n\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Weiter gilt wegen der Gleichwahrscheinlichkeit aller Konfigurationen der Laplace- Ansatz ("Günstige : Mögliche").
Weiter gilt, dass die Kardinlität $\begin{eqnarray*} m^n \end{eqnarray*}$ ist, aber $\begin{eqnarray*} M^n \end{eqnarray*}$ beschreibt das n-fache kartesische Produkt von M. Hätte M die von mir gewählte Gestalt (die Menge nicht das Produkt)?

25.04.2013, 14:15

Huggy

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RE: Spatzen und Masten

Zitat:

Original von lagrange92Weiter gilt, dass die Kardinlität $\begin{eqnarray*} m^n \end{eqnarray*}$ ist, aber $\begin{eqnarray*} M^n \end{eqnarray*}$ beschreibt das n-fache kartesische Produkt von M. Hätte M die von mir gewählte Gestalt (die Menge nicht das Produkt)?

Diesen Abschnitt verstehe ich überhaupt nicht.

Ich würde die Aufgabe so lösen:

Modell: Ziehen mit Zurücklegen unter Berücksichtigung der Reihenfolge
Dann hat man eine Laplacewahrscheinlichkeit und der Ereignisraum hat die Kardinalität $\begin{eqnarray*} m^n \end{eqnarray*}$ .

Nun sind die Konfigurationen zu zählen, bei denen genau j Leitungen freibleiben. Die Aufgabe meint doch genau j oder?
Dazu zählt man die Möglichkeiten, j unbesetzte Leitungen aus den m Leitungen auszuwählen. Das ist einfach. Das multipliziert man mit den Möglichkeiten, die restlichen k = m - j Leitungen so zu belegen, dass auf jeder mindestens ein Spatz sitzt. Dies kann man berechnen als Gesamtzahl der Konfigurationen für diese k Leitungen abzüglich der Konfigurationen U, bei denen mindestens eine der k Leitungen unbesetzt ist. Es sei $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ die Menge der Konfigurationen der k Leitungen, bei denen die Leitung i (und eventuell andere Leitungen) nicht besetzt ist. Dann hat man:

$\begin{eqnarray*} U=\bigcup_{i=1}^k X_i \end{eqnarray*}$

Großes Aufatmen, denn die Kardinalität von U lässt sich mit der allseits beliebten Siebformel berechnen.

25.04.2013, 15:38

lagrange92

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RE: Spatzen und Masten
Ich vergaß zu erwähnen, dass die Spatzen nach Vorraussetzung ununterscheidbar sind.
Ups

25.04.2013, 17:23

Huggy

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RE: Spatzen und Masten
Das kommt mir unwahrscheinlich vor. Das müssten quantenmechanische Spatzen sein. Reale Objekte der makroskopischen Welt sind immer unterscheidbar. Zumindest darf man sie gedanklich unterscheiden und bekommt so das korrekte Ergebnis.

25.04.2013, 17:57

lagrange92

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RE: Spatzen und Masten
Ich glaube die Aufgabe richtet sich nicht so nach der Machart der Spatzen, denn im Grunde kann man die meisten Elemente, die man betrachtet, doch unterscheiden. Es geht hier viel mehr um ein Gedankenexperiment mit mehr oder weniger Realitätsbezug. smile

PS.: Die Aufgabe ist definitiv so mit ununterscheidbaren Spatzen.

25.04.2013, 18:46

Huggy

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RE: Spatzen und Masten
Dann entschuldige ich mich für die Einmischung und lasse dich und Math1986 weitermachen.

27.04.2013, 09:00

lagrange92

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RE: Spatzen und Masten
Ich danke dir für deine Hilfe.

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