Induktion zur Wahrscheinlichkeit einer endlichen Verinigung

23.04.2013, 19:20

lagrange92

Induktion zur Wahrscheinlichkeit einer endlichen Verinigung

Meine Frage:
Ich will zeigen, das gilt:
$\begin{eqnarray*} \mathbb P (\cup _{i=1}^n A_i)=\sum\limits_{r=1}^n (-1)^{r+1} \sum\limits_{1 \leq i_1 < ... < i_r \leq n} \mathbb P (\cap_{j=1}^r A_{i_j }) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich weis nicht, wie ich hier mit der hinteren Summe verfahren muss, weil ich den Index ehrlich gesagt nicht umwandeln kann, sodass ich dann damit weiterarbeiten kann. Ist das eine Summe in der Summe?

24.04.2013, 11:57

Math1986

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RE: Induktion zur Wahrscheinlichkeit einer endlichen Verinigung
Fang mal an, die Summe für n=2, n=3... auszuschreiben, dann wirds klarer.

25.04.2013, 10:33

lagrange92

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RE: Induktion zur Wahrscheinlichkeit einer endlichen Verinigung
Ich habe mir das für n=2 und n=3 überlegt und komme zu:
n=2:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{r=1}^2 (-1)^{r+1} \sum\limits_{1 \leq i_1 <...<i_r \leq 2} \mathbb P (\cap_{j=1}^r A_{i_j })= 1*\sum\limits_{1 \leq i_1\leq 2} \mathbb P (A_{i_1})-1*\sum\limits_{1 \leq i_1< i_2 \leq 2} \mathbb P (A_{i_1} \cap A_{i_2}) \end{eqnarray*}$
n=3:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{r=1}^3 (-1)^{r+1} \sum\limits_{1 \leq i_1 <...< i_r \leq 3} \mathbb P (\cap_{j=1}^r A_{i_j })= 1*\sum\limits_{1 \leq i_1\leq 3} \mathbb P (A_{i_1})-1*\sum\limits_{1 \leq i_1< i_2 \leq 3} \mathbb P (A_{i_1} \cap A_{i_2})+1*\sum\limits_{1 \leq i_1< i_2<i_3 \leq 3} \mathbb P (A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap A_{i_3}) \end{eqnarray*}$ .
So weit klappt es ja ohne Probleme (gesetzt den Fall ich habe keine Fehler gemacht verwirrt

), aber ich verstehe nicht, wie ich mit diesen Index: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{1\leq i_1 <... < i_r \leq n} \end{eqnarray*}$ umgehen muss, könntest du da mal ein kurzes Beispiel machen?

25.04.2013, 12:22

Math1986

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RE: Induktion zur Wahrscheinlichkeit einer endlichen Verinigung

Zitat:

Original von lagrange92
Ich habe mir das für n=2 und n=3 überlegt und komme zu:
n=2:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{r=1}^2 (-1)^{r+1} \sum\limits_{1 \leq i_1 <...<i_r \leq 2} \mathbb P (\cap_{j=1}^r A_{i_j })= 1*\sum\limits_{1 \leq i_1\leq 2} \mathbb P (A_{i_1})-1*\sum\limits_{1 \leq i_1< i_2 \leq 2} \mathbb P (A_{i_1} \cap A_{i_2}) \end{eqnarray*}$

Nein, das stimmt so nicht:

Nochmal von Vorne:
$\begin{eqnarray*} \mathbb P \left(\cup _{i=1}^n A_i\right)=\sum_{r=1}^n (-1)^{r+1} \sum_{1 \leq i_1 < \ldots < i_r \leq n} \mathbb P\left(\cap_{j=1}^r A_{i_j }\right) \end{eqnarray*}$
Der erste Summenindex gibt dir nur an, wie viele Mengen du in der Wahrscheinlichkeit in der zweiten Summe schneidest. Der Faktor $\begin{eqnarray*} (-1)^{r+1} \end{eqnarray*}$ bewirkt eben nur, dass der Summand mal positiv, mal negativ wird.

Der Ausdruck
$\begin{eqnarray*} \sum_{1 \leq i_1 < \ldots < i_r \leq n} \mathbb P\left(\cap_{j=1}^r A_{i_j }\right) \end{eqnarray*}$
ist eben so zu lesen, dass du den Schnitt aus r Mengen bildest, und dabei jeden Schnitt aus r Mengen genau einmal betrachtest.

Beispiel: Du willst $\begin{eqnarray*} P(A\cup B) \end{eqnarray*}$ berechnen.
Im Allgemeinen ist aber $\begin{eqnarray*} P(A\cup B)\leq P(A)+P(B) \end{eqnarray*}$ , da eben die Ereignisse in der Schnittmenge mehrfach gezählt werden. Um dies auszugleichen musst du nun die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge abziehen:
$\begin{eqnarray*} P(A\cup B)= P(A)+P(B)-P(A\cap B) \end{eqnarray*}$
Das ist im Prinzip schon der Fall n=2 in obiger Formel.
Zeichne dir Mengendiagramme, dannn wirds klarer.

Im Prinzip die selbe Argumentation für drei Mengen, und so weiter.

25.04.2013, 15:41

lagrange92

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RE: Induktion zur Wahrscheinlichkeit einer endlichen Verinigung
Ok, danke erstmal bis hier. Freude

27.04.2013, 11:29

lagrange92

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RE: Induktion zur Wahrscheinlichkeit einer endlichen Verinigung
Ich bin bis jetzt zu Folgendem gekommen:
Im Folgenden sei $\begin{eqnarray*} ^*:= \mathbb P(A \cup B)= \mathbb P (A)+\mathbb P (B)-\mathbb P (A \cap B) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} I.A.: \mathbb P (\cup_1^1 A_i)= \mathbb P(A_1) \end{eqnarray*}$ und für den zweiten Teil vom Anfang:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{r=1}^1 (-1)^{r+1} \sum\limits_{1 \leq i_1 \leq 1} \mathbb P (\cap_{j=1}^1 A_{i_j })= (-1)^2*\sum\limits_{i_1=1} \mathbb P( A_{i_1})= \sum\limits_{i_1=1}^1 \mathbb P (A_{i_1})=\mathbb P (A_1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} I.V.:\mathbb P (\cup _{i=1}^n A_i)=\sum\limits_{r=1}^n (-1)^{r+1} \sum\limits_{1 \leq i_1 < ... < i_r \leq n} \mathbb P (\cap_{j=1}^r A_{i_j }) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} I.S.: \mathbb P(\cup_{i=1}^{n+1} A_i)=\mathbb P(\cup_{i=1}^{n}A_i \cup A_{n+1})=^{*} \mathbb P(\cup_{i=1} ^n A_i)+\mathbb P(A_{n+1})- \mathbb P (\cup_{i=1} ^n A_i \cap A_{n+1}) =^{2-maliges-Anwenden-der-Induktionsvoraussetzung}<br /> \sum\limits_{r=1}^n (-1)^{r+1} \sum\limits_{1 \leq i_1 < ... < i_r \leq n} \mathbb P (\cap_{j=1}^r A_{i_j })-\sum\limits_{r=1}^n (-1)^{r+1} \sum\limits_{1 \leq i_1 < ... < i_r \leq n} \mathbb P (\cap_{j=1}^r A_{i_j } \cap A_{n+1})- \mathbb P (A_{n+1})<br /> \end{eqnarray*}$
Für die Bedeutung des zweiten Sigmas weis ich nun auch die Beduetung der Indizes, wüsste aber gerne erstmal, was sich zum Weitermachen anbieten würde, danke.