Abbildung selbstadjungiert?

23.04.2013, 20:01

Hermoine

Abbildung selbstadjungiert?

Hallo:

Aufgabe:
Sei V ein n-dimensionaler unitärer Vektorraum. Sei a aus V und für v aus V sei
$\begin{eqnarray*} F_{a}(v)= -v+<v,a>\cdot a \end{eqnarray*}$

zu zeigen:
a)
$\begin{eqnarray*} F_{a} \end{eqnarray*}$ selbstadjungiert.

b)
Es sei $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} t_{1}=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_{2}=<a,a>-1 \end{eqnarray*}$ die einzigen Eigenwerte von $\begin{eqnarray*} F_{a} \end{eqnarray*}$ sind.

c)
Bestimmen Sie das charakt. Polynom.

Lösungsansätze:

zu a)
Zu zeigen ist:
$\begin{eqnarray*} <F_{a}(v),w>= <v, F_{a}(w)> \end{eqnarray*}$
also:
$\begin{eqnarray*} <-v+<v,a>\cdot a,w>=<-v,w>+<<v,a>\cdot a,w> = <v,-w>+<v,a>\cdot <a,w>= <v,-w+a\cdot <a,w>> \end{eqnarray*}$

das passt aber ja gar nicht. es müsste ja am ende $\begin{eqnarray*} <v,-w+a\cdot <w,a>> \end{eqnarray*}$ sein.
hab schon öfters jeden einzelnen schritt überprüft, finde es aber nicht.

zu b) und c) hab ich noch nicht weitergemacht, weil ich noch bei a) stecken geblieben war. aber schonmal ne frage dazu: ich kenne nur die eigenwert-berechnung, wenn ich ne matrix hab. wie komme ich von soner abbildungsvorschrift auf die eigenwerte/ das chr. polynom?

23.04.2013, 20:05

Che Netzer

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RE: Abbildung selbstadjungiert?

Zitat:

Original von Hermoine
$\begin{eqnarray*} <-v,w>+<<v,a>\cdot a,w> = <v,-w>+<v,a>\cdot <a,w> \end{eqnarray*}$

Hier musst du $\begin{eqnarray*} \langle v,a\rangle \end{eqnarray*}$ konjugieren, wenn du es aus dem Skalarprodukt ziehst (ich nehme mal an, dass euer Skalarprodukt im zweiten Eingang konjugiert linear ist).

Zitat:

wie komme ich von soner abbildungsvorschrift auf die eigenwerte/ das chr. polynom?

Suche direkt nach $\begin{eqnarray*} t\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F_av=tv \end{eqnarray*}$ .

25.04.2013, 16:40

Hermoine

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Danke für die schnelle Antwort.

zu a) ich habe viel probiert, aber mir fehlen gute Ideen. Und auch mit dem Skalarprodukt kann ich nicht spnderlich gut hantieren. Ich hab deswegen nicht so viel weiter geschafft:

$\begin{eqnarray*} <-v,w>+<<v,a>\cdot a,w>=<v,-w>+<a,v>\cdot <a,w> = <v,-w>+<<w,a>\cdot a,v> \end{eqnarray*}$
ich dachte, so hab ich das w schonmal auf der richtigen seite, weil ja am ende
$\begin{eqnarray*} <v,-w+<w,a>\cdot a> \end{eqnarray*}$ rauskommen soll.

zu deinem tipp zu b und c:
ist das nun für das charakteristische polynom oder für die eigenwerte?

$\begin{eqnarray*} F_{a}(v)=tv = -v+<v,a>\cdot a= tv \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -v-tv+<v,a>\cdot a= 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -v(1+t)+<v,a>\cdot a= 0 \end{eqnarray*}$

da fehlt wohl noch ein entscheidender schritt..

25.04.2013, 18:39

Che Netzer

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Zur a)
Dann frage ich mal lieber nochmal nach: In welchem Eingang soll euer Skalarprodukt denn linear und in welchem konjugiert linear sein.
Multipliziere jeweils $\begin{eqnarray*} \langle F_av,w\rangle \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \langle v,F_aw\rangle \end{eqnarray*}$ aus.
Der Term $\begin{eqnarray*} -\langle v,w\rangle \end{eqnarray*}$ sollte bei beiden Ausdrücken auftauchen.
Im anderen Term musst du aufpassen.

Zu c)
Naja, wofür könnte das Lösen von $\begin{eqnarray*} F_av=tv \end{eqnarray*}$ denn gut sein?
Welcher Definition entspricht das?
Aus $\begin{eqnarray*} v(1+t)=\langle v,a\rangle a \end{eqnarray*}$ (und $\begin{eqnarray*} v\neq0 \end{eqnarray*}$ ) kannst du jedenfalls ableiten, dass $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ parallel sein müssen. Dann vergleiche die Koeffizienten bzw. Beträge auf beiden Seiten.

28.04.2013, 12:27

Hermoine

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unser standardskalarprodukt im komplexen isr so definiert:
$\begin{eqnarray*} <z,w> = z^{t}w \end{eqnarray*}$ (w beim letzten kompl. konj.).
hab jetzt auch ne lösung, und zwar:

$\begin{eqnarray*} <-v,w>+<<v,a>a,w>=<-v,w>+<v,a><a,w>=<v,-w>+<v,<w,a>a> = <v,-w+<w,a>a> \end{eqnarray*}$

zu c) (eigentlich ist das ja eher b))
F_{a}(v)=tv dann ist v eigenvektor und t zugehöriger eigenwert.
ich komme aber nicht auf die lösung, warum t = -1 oder t= <a,a>-1 sein muss.
also bei t = -1 steht da ja 0=0 und bei t = <a,a>-1 kann mans wie folgt umformen:
$\begin{eqnarray*} 0=v-\frac{<v,a>}{<a,a>}\cdot a \end{eqnarray*}$
die "rechte seite" entspricht dem orthogonalisierungsverfahren. also wenn man a und v orthogonalisieren würde, wäre a der erste vektor und mit der methode hätte man v zu a orthogonal, nur ist es hier dann der nullvektor. muss ja, weil die vektoren parallel sind. ich muss aber ja zeigen, was die eigenwerte sind...

und das charakteristische polynom? müsste ja ein polynom sein mit -1 und <a,a>-1 als nullstellen.

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