Uneigentliche Integrale

23.04.2013, 22:17

Lemon

Uneigentliche Integrale

Meine Frage:
Hallo,

ich bräuchte Hilfe bei der Berechnung des folgenden Integrals:

$\begin{eqnarray*} \int_e^\infty \! \frac{1}{xln(x)^3} \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich möchte erst mal eigentlich nur einen Tipp, wie ich das Integral angehen soll. Einfach Integrieren geht ja nicht, aber wie dann? Substitution oder Partielle Integration? Ich weiß, dass man bei uneigentlichen Integralen einen Limes untersucht, hier hätte ich dann eine obere Integralgrenze gegen unendlich laufen lassen, doch die Umformung macht Probleme...

Ich bräuchte echt dringend eine kleine Hilfestellung.

Schon mal danke.

23.04.2013, 22:21

HammerTobi

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RE: Uneigentliche Integrale
Hi,

durch Substitution kommst du schnell auf ein Ergebnis.
Von welcher Funktion hast du hier die Ableitung in dem Integrand?

Lg Tobi

23.04.2013, 23:46

original

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RE: Uneigentliche Integrale

Zitat:

Original von Lemon

$\begin{eqnarray*} \int_e^\infty \! \frac{1}{xln(x)^3} \, dx \end{eqnarray*}$ geschockt

Ich möchte erst mal eigentlich nur einen Tipp

-> Tipp 1 -> schreibe die Aufgabe richtig auf , also:

......... ? was ist damit gemeint:-> $\begin{eqnarray*} ln(x)^3 \end{eqnarray*}$

dies ->
$\begin{eqnarray*} ln(x^3) = 3\cdot ln(x) \end{eqnarray*}$

oder dies ->
$\begin{eqnarray*} (ln x)^3 = ln^3(x) \end{eqnarray*}$

-> Tipp 2 -> weiter wirst du in beiden Fällen wohl mit einer geeigneten Substitution kommen smile

25.04.2013, 20:53

Lemon

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Also, ich hab die Aufgabe richtig vom Aufgabenblatt abgeschrieben, ich gehe aber einfach davon aus, dass $\begin{eqnarray*} \int_e^\infty \! \frac{1}{xln^3(x)} \, dx \end{eqnarray*}$ gemeint ist.

Also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ist ja die Ableitung von ln(x).

Ich hab mal so substituiert: Sei $\begin{eqnarray*} ln(x)=y \Rightarrow dy = \frac{1}{x} dx \Leftrightarrow dy \cdot x = dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_e^\infty \! \frac{1}{xln^3(x)} \, dx = \int_e^\infty \! \frac{1}{y^3} \, dy = \lim_{t \to \infty }\int_e^ t \! \frac{1}{y^3} \, dy <br /> = \lim_{t \to \infty } \left[-\frac{1}{2y^2} \right]_{e}^{t} = \lim_{t \to \infty } (-\frac{1}{2t^2} + \frac{1}{2e^2}) = \frac{1}{2e^2} \end{eqnarray*}$

Kann das so stimmen?

25.04.2013, 21:16

grosserloewe

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Kann es sein, das Du die Resubstution y=ln(x) vergessen hast?

25.04.2013, 21:23

original

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Zitat:

Original von Lemon

Ich hab mal so substituiert:
Sei $\begin{eqnarray*} ln(x)=y \Rightarrow dy = \frac{1}{x} dx \Leftrightarrow dy \cdot x = dx \end{eqnarray*}$ Freude

$\begin{eqnarray*} \int_e^\infty \! \frac{1}{xln^3(x)} \, dx = \int_e^\infty \! \frac{1}{y^3} \, dy \end{eqnarray*}$ traurig

Kann das so stimmen? unglücklich

->
.......... Beim Übergang zu einer neuen Variablen (hier von x zu y)
musst du auch die Grenzen des Integrals auf die neues Variable umrechnen ..

Beispiel: Substitution y=ln(x) .. -> .. untere Grenze x=e geht über in y=ln(e) .. also
untere Grenze ist dann y=1 ... usw

ok?

25.04.2013, 21:24

Lemon

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Ups! Ja, danke! smile

Rücksubstitution: $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty } \left[-\frac{1}{2ln^2(x)} \right]_{e}^{t} = -\frac{1}{2ln^2(t)} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

25.04.2013, 21:34

original

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Zitat:

Original von Lemon

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty } \left[-\frac{1}{2ln^2(x)} \right]_{e}^{t} = -\frac{1}{2ln^2(t)} + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ geschockt

....................................... ^

->
.. das Gleichheitszeichen ist hier nicht richtig...

.

27.04.2013, 21:43

Lemon

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Habs gemerkt, hab den Limes vergessen. Danke für die Hilfe! smile

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