Quaternionengruppe - Seite 2

01.05.2013, 11:49

Theend9219

RE: Quaternionengruppe

Zitat:

Original von Theend9219
Vielen Dank .. jetzt wird es mir klarer..

Das heißt also ich soll zeigen $\begin{eqnarray*} Q = <E,I,J,K,E^{-1},I^{-1},J^{-1},K^{-1}> = <I,J> = <I,J,I^{-1},J^{-1}> \end{eqnarray*}$
?

Oka $\begin{eqnarray*} y K = IJ<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Q = <E,I,J,IJ,E^{-1},I^{-1},J^{-1},IJ^{-1}> = <I,J> = <I,J,I^{-1},J^{-1}> \end{eqnarray*}$

01.05.2013, 11:53

Che Netzer

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RE: Quaternionengruppe
Ich weiß nicht, wieso du deine komische Gleichungskette benutzt.
Verwende lieber den Satz, den ich eben zitiert hatte.

01.05.2013, 12:01

Theend9219

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RE: Quaternionengruppe
Ist es möglich das du mir zeigen kannst für Q=<I,J>
weil ich muss ja noch für Q =<I,K>=<J,K> machen und dann weiß ich wie ich vorgehen muss.. dann wird einiges klarer..

01.05.2013, 12:03

Che Netzer

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RE: Quaternionengruppe
Für die geht es leider ganz genauso.

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Die Gruppe $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ besteht aus all denen Elementen, die sich als Produkte von $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und deren Inversen schreiben lassen.

Jetzt benutze $\begin{eqnarray*} K=IJ \end{eqnarray*}$ .

Folge dem hier einfach. Einfach einsetzen.

01.05.2013, 12:07

Theend9219

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RE: Quaternionengruppe
wenn ich doch wüsste wo ich das einsetzen muss..

$\begin{eqnarray*} K= \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

?

01.05.2013, 12:08

Che Netzer

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RE: Quaternionengruppe
Du sollst $\begin{eqnarray*} K=IJ \end{eqnarray*}$ in den Satz einsetzen, den ich dir mittlerweile zweimal wiederholt habe.

01.05.2013, 12:09

Theend9219

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RE: Quaternionengruppe

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Jetzt benutze $\begin{eqnarray*} K=IJ \end{eqnarray*}$ .

mhh.. okay

Die Gruppe $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ besteht aus all denen Elementen, die sich als Produkte von $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} IJ \end{eqnarray*}$ und deren Inversen schreiben lassen

01.05.2013, 12:34

Che Netzer

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RE: Quaternionengruppe
Besser. Und fällt dir da eine gewisse Redundanz auf?

01.05.2013, 14:05

Theend9219

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RE: Quaternionengruppe
naja ich sehe da 2mal ein J und 2mal ein I .. wobei IJ eine binäre Verknüpfung ist ..

01.05.2013, 14:12

Che Netzer

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RE: Quaternionengruppe
So in der Art.
Mal anders gefragt:
Wenn ich dir beliebig viele $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ gebe und du damit herumbastelst und Produkte bildest – würde es dir dann etwas nützen, wenn ich dir zusätzlich noch beliebig viele $\begin{eqnarray*} IJ \end{eqnarray*}$ gebe, um sie den Basteleien bzw. Produkten hinzuzufügen? Oder brauchst du die gar nicht mehr?

01.05.2013, 14:30

Theend9219

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RE: Quaternionengruppe
Nein ich brauche die nicht .. weil ja ..

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{i=1}^n I_{i}J_{i} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{i=1}^n J_{i}I_{i} \end{eqnarray*}$

01.05.2013, 14:32

Che Netzer

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RE: Quaternionengruppe
Was sind denn $\begin{eqnarray*} I_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} J_i \end{eqnarray*}$ ?
Und woher kommt diese Gleichung?
Es ist $\begin{eqnarray*} IJ\neq JI \end{eqnarray*}$ !

01.05.2013, 14:34

Theend9219

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RE: Quaternionengruppe
tut mir leid ich hatte fallsch überlegt..
also wenn ich aus den I und J produkte mache .. dann kann ich zusätzlich noch IJ hinzufügen ...aber keine JI

01.05.2013, 15:04

Leopold

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Che Netzers Geduld ist wirklich bewunderswert. Ich glaube aber, daß man ab einem bestimmten Punkt mit der Hebammen-Methode nicht weiterkommt. Ich würde daher vorschlagen, Theend9219 das Ergebnis zu verraten:

$\begin{eqnarray*} Q = \{ E, \ldots \} \end{eqnarray*}$

damit er es nachträglich bestätigen kann. Dann soll er sich am Ergebnis die Bedeutung der einzelnen Begriffe (zum Beispiel Erzeugnis) klarmachen. Das Problem ist ja, daß es bei Theend9219 an so vielen Punkten hakt. Wenn man die dann durch Nachfragen zu klären versucht, kommt man zwangsläufig immer wieder auf Abwege, so daß das eigentliche Ziel aus den Augen gerät. Oder auch so: nur noch Bäume, kein Wald mehr.

01.05.2013, 15:22

Che Netzer

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Naja, auf eine ganz konkrete Angabe von $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ möchte ich lieber verzichten, daher hier nur die Idee (die wesentlich wichtiger ist):

Dazu noch ein Zitat:

Zitat:

Die Elemente von $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ sind aber von der Form
$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^nM_i\,, \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} M_i\in\{I,J,K,I^{-1},J^{-1},K^{-1}\} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=1,\dotsc,n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ .

Wir haben also z.B. die Elemente $\begin{eqnarray*} IJJK \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} JKKI^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} JK^{-1}IIK \end{eqnarray*}$ etc.
Da $\begin{eqnarray*} K=IJ \end{eqnarray*}$ , gilt auch $\begin{eqnarray*} K^{-1}=(IJ)^{-1}=J^{-1}I^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Die Idee ist nun: Wann immer bei obiger Darstellung der Elemente von $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ vorkommt, ersetzen wir dieses durch $\begin{eqnarray*} IJ \end{eqnarray*}$ ; an den drei Beispielen also:
$\begin{align*} IJJK&=IJJ(IJ)=IJJIJ\,,\\JKKI^{-1}&=J(IJ)(IJ)I^{-1}=JIJIJI^{-1}\,,\\JK^{-1}IIK&=J(J^{-1}I^{-1})II(IJ)=JJ^{-1}I^{-1}IIIJ\,. \end{align*}$

Um also Produkte aus $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K=IJ \end{eqnarray*}$ (in beliebigen Potenzen) erzeugen zu wollen, können wir auf die Benutzung von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ verzichten. Denn $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist selbst bereits ein Produkt von $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ .

Ist das soweit klar?
Und eine kleine Frage zum Nachdenken: Wieso habe ich oben nur $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und deren Inverse zum Bilden der Produkte gewählt? Wieso kann dabei auf $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ verzichtet werden?

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