Integral berechnen

23.04.2013, 22:49

Fragender1234567

Integral berechnen

Ich suche die Lösung für das Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}\frac{x^2}{e^{x}-1} \end{eqnarray*}$

Ich kann ja schreiben:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}x^2\underbrace{\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}}_{=\sum_{n=0}^{\infty} e^{-nx}} \end{eqnarray*}$

Doch was kann ich weiter machen? Hilft mir das überhaupt, was ich angefangen habe?

Danke für Hilfe!

25.04.2013, 09:05

Leopold

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Der Wert des Integrals ist $\begin{eqnarray*} 2 \zeta(3) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ als der Riemannschen Zetafunktion. Wenn du daher das Integral mit "elementareren" Methoden berechnen könntest, wärest du Fields-Medaillen-verdächtig.

25.04.2013, 13:39

Mystic

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Zitat:

Original von Leopold
Der Wert des Integrals ist $\begin{eqnarray*} 2 \zeta(3) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ als der Riemannschen Zetafunktion. Wenn du daher das Integral mit "elementareren" Methoden berechnen könntest, wärest du Fields-Medaillen-verdächtig.

Vor der Einreichung für die Fields-Medaille sollte er aber dann unbedingt noch einige Kleinigkeiten ausbessern, z.B. in

Zitat:

Original von Fragender1234567
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}x^2\underbrace{\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}}_{=\sum_{n=0}^{\infty} e^{-nx}} \end{eqnarray*}$

das Differenzial dx ergänzen und auch die unendliche Reihe besser bei n=1 starten lassen... Big Laugh

25.04.2013, 16:18

Leopold

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Wenn der große Wurf gelingt - wer wird dann an solchen Nichtigkeiten herummäkeln!

Aber bis dahin, o.k., sollte man auch auf diese Kleinigkeiten achten. Augenzwinkern

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