stetige Abhängigkeit vom Anfangswert

24.04.2013, 08:26	Un-aachen	Auf diesen Beitrag antworten »
stetige Abhängigkeit vom Anfangswert Meine Frage: Hallo, ich bräuchte mal Eure Hilfe zu der Aufgabe 5b).... ich weiß nicht wie ich da dran gehen soll, geschweige denn den Beweis aufstellen soll. http://www.mi.uni-koeln.de/~wefelm/13s/blatt02.pdf Wäre etwas viel zum tippen^^ Meine Ideen: ??? mir fehlen jegliche Ideen
25.04.2013, 10:35	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie sieht die Definition 8.3.2 der Lipschitz-Bedingung aus? Bleibt x fest und es wird eine Umgebung von $\begin{eqnarray} y_0 \end{eqnarray}$ betrachtet? Also sowas wie $\begin{eqnarray} \Vert f(x,y)-f(x,y_0)\Vert\le L\Vert y -y_0\Vert \end{eqnarray}$ mit Lipschitzkonstante L.
25.04.2013, 12:12	Un-aachen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Ja.... es ist lokal....
25.04.2013, 13:42	Un-aachen	Auf diesen Beitrag antworten »
Also man muss das denke ich mit der Existenz von Picard-Lindelöf machen......? Langsam muss ich was machen :-( Um 16uhr ist abgabe...
25.04.2013, 14:25	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
16:00? Das wird knapp. Picard-Lindelöf sichert die Existenz einer Lösung. Also mit der Lösung der DGl in Integralform $\begin{eqnarray} \phi(x) = y_0+\int\limits_{x_0}^x f(t,\phi(t))dt \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \psi(x) = z_0+\int\limits_{x_0}^x f(t,\psi(t))dt \end{eqnarray}$ solange sich $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ innerhalb des $\begin{align} \alpha \end{align}$ -Streifens um $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ befindet, denn dort ist f stetig und es gilt die Lipschitz-Bedingung. Jetzt kannst du $\begin{eqnarray} \Vert \psi(x)-\phi(x)\Vert \end{eqnarray}$ bilden unter der Bedingung $\begin{eqnarray} \Vert y_0-z_0\Vert < \delta \end{eqnarray}$ . Hierbei beachten, dass $\begin{eqnarray} \Bigg\Vert \int\limits_{x_0}^x f(t,\psi(t))-f(t,\phi(t))dt\Bigg\Vert \le \int\limits_{x_0}^x \Vert f(t,\psi(t))-f(t,\phi(t))\Vert dt \end{eqnarray}$ und eine Abschätzung des letzten Integrals aufgrund der lokalen Lipschitz-Bedingung.
25.04.2013, 15:05	Un-aachen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm ich denke ich muss passen, mal eben so kriege ich das auch nicht hin. Ach die Punkte sind egal, habe den rest ja. Werde das zwar weiter machen, aber nicht mit abgeben....
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25.04.2013, 15:36	Un-aachen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohh nein das neue Blatt.... es sind NUR beweise..... :-(

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