eindimensionaler, gerichteter random walk

24.04.2013, 10:23	Cpt. Challenger	Auf diesen Beitrag antworten »
eindimensionaler, gerichteter random walk Guten Morgen, Aufgabe: Teilchen starten bei x=0 und vollführen einen eindimensionalen gerichteten Irrweg, wobei sie nach jedem Zeitschritt $\begin{eqnarray} \Delta t \end{eqnarray}$ um ein Wegstück $\begin{eqnarray} \Delta x \end{eqnarray}$ verschoben werden. Die Verschiebungen seinen dabei im Intervall [0,a] uniform verteilt, d.h. innerhalb dieses Intervalls ist jeder Wert von $\begin{eqnarray} \Delta x \end{eqnarray}$ gleich wahrscheinlich. Berechnen Sie die Verteilungsdichte der Teilchen nach dem ersten, zweiten und dirtten Zeitschritt, $\begin{eqnarray} p(x,j\Delta x) \end{eqnarray}$ , j=1,2,3, und zeichnen Sie den Graphen dieser Funktionen. Meine Ideen: Wenn ich ein Teilchen betrachte nach j Schritten, ist die Wahrscheinlichkeitsdichte $\begin{eqnarray} p(0\leq x \leq ja) = \frac{1}{j \cdot a} = const \end{eqnarray}$ . Das muss so sein, damit die Fläche unter der Funktion 1 ergibt und die Funktion konstant ist wegen der Gleichverteilung. Wenn ich N Teilchen nach einem Schritt betrachte, dann verhält sich die Anzahl der Teilchen an der Stelle $\begin{eqnarray} x \in [0,a] \end{eqnarray}$ wie eine Glockenkurve. Das Maximum = Mittelwert müsste bei $\begin{eqnarray} \overline{x} = \frac{a}{2} \end{eqnarray}$ liegen. Diese Überlegungen erscheinen mir sinnvoll, da der Irrweg asymmetrisch ist und ich zu jedem Teilchen, was im Abstand d links vom Mittelwert liegt, ein im Abstand d rechts vom Mittelwert liegendes Teilchen finden kann, wenn N nur hinreichend groß ist. Genauso wäre es auch bei N Teilchen nach j Schritten, nur dass die x-Achse dann von 0 bis $\begin{eqnarray} ja \end{eqnarray}$ geht und der Mittelwert $\begin{eqnarray} \overline{x}= \frac{ja}{2} \end{eqnarray}$ ist. Frage: Wie finde ich die Wahrscheinlichkeitsdichten für N Teilchen nach dem 1,2,3 ,... j, Schritt? Ich habe von dem zentralen Grenzwertsatz gelesen, nach dem da ein Gaußverteilung rauskommen müsste. Ich glaube, man muss eine Faltung berechnen, stimmt das?

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