Aufgabe zur Möbiusfunktion

24.04.2013, 13:24	Petra12345	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zur Möbiusfunktion Meine Frage: Hallo habe folgende Aufgabe gestellt bekommen: Zeigen Sie: (a) Es gibt unendlich viele Zahlen n $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ N, so dass mü(n) + mü(n + 1) = 0. (b) Es gibt unendlich viele Zahlen n $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ N, so dass mü(n) + mü(n + 1) = -1. Möbiusfunktion so definiert: mü(n) = 1, wenn n = 1 = (-1)^k , n Produkt von k verschiedenen Primzahlen = 0, n nicht quadratfrei (mü = Möbiusfunktion, mein mü wird hier leider in einen kopfkratzenden Smiley transformiert) Meine Ideen: Meine Idee war jetzt bei (b), dass mü(n) ja immer = -1 ist, wenn n eine Primzahl ist (da nur ein Primfaktor) also muss mü(n + 1) = 0 sein, also n+1 eine quadratfreie Zahl, und davon muss es unendlich geben? Das es unendlich viele Primzahlen gibt haben wir schon bewiesen. Würde es reichen zu beweisen dass es unendlich viele quadratfreie Zahlen gibt? Die müssten aber ja auch immer noch auf eine Primzahl folgen, da n + 1. Und wie könnte ich das beweisen? oder ist mein Ansatz völlig falsch? Beweise ich lieber mit Widerspruch und gehe davon aus, dass es nur endlich viele solcher Zahlen gibt? Wie müsste ich da dann vorgehen? Komm grad einfach nicht weiter. Hoffe jemand kann mir helfen. Vielen Dank
24.04.2013, 13:51	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zur Möbiusfunktion hallo, ich habe eine tolle idee, wie man 1) lösen könnte. Die gleichung wäre ja erfüllt, wenn man immer 2 aufeinanderfolgende zahlen angeben kann, die beide nicht quadratfrei sind. Benutze n^2 und n^2 - 1= (n+1)(n-1) und bedenke, dass eine durch 4 teilbare zahl nicht quadratfrei ist und überlege, wodurch n+1 und n-1 bei ungeraden n teilbar sein müssen... gruss ollie3
24.04.2013, 14:29	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur eine Anmerkung: Wenn n eine Primzahl, also $\begin{eqnarray} \mu(n)=-1 \end{eqnarray}$ , dann soll $\begin{eqnarray} \mu(n+1)=0 \end{eqnarray}$ gelten, damit n zur Menge in b) passt. Das aber bedeutet, dass n+1 nicht quadaratfrei sein darf, im Gegensatz zu dem, was du geschrieben hast.
24.04.2013, 14:47	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form n=4k-1, woraus dann folgt, dass n+1 nicht quadratfrei ist. Es wäre also dieser Satz über Primzahlen zu beweisen.
24.04.2013, 14:59	Petra12345	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für eure Tipps , habs gelöst bekommen LIebe Grüße

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